uva11605 - Lights inside a 3d Grid

最新推荐文章于 2020-10-19 22:02:10 发布

*ACoder*

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分类专栏： # 数学杂题

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本文解析了一个三维长方体中，每个格子在特定次数后开着灯的期望概率问题。通过计算每个格子被选中的概率及开着灯的概率，最终得出整体的期望值。涉及概率论、组合数学及算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接

https://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&page=show_problem&problem=2652

题解

每个格子对答案的贡献都是独立的，因此我可以对每个格子的期望都算一遍然后加起来
对于在 $(i, j, k)$ 的格子
它每次被选中的概率都是
$p_{(i,j,k)}=\frac{(2i(n-i+1)-1)(2j(m-j+1)-1)(2k(q-k+1)-1)}{(nmq)^2}$
其中 $n, m, q$ 代表长方体的边长
设第 $i$ 次之后开着灯的概率为 $a_i$ ，那么
$a_1=p$
$a_n=(1-p)a_{n-1}+p(1-a_{n-1})$
求得通项公式 $a_n=(p-\frac{1}{2})(1-2p)^{n-1}+\frac{1}{2}$
所以格子 $(i, j, k)$ 对答案的贡献就是 $1\times[(p-\frac{1}{2})(1-2p)^{K-1}+\frac{1}{2}]$
其中 $K$ 是题目输入的 $K$

代码

//概率题
#include <bits/stdc++.h>
#define eps 1e-8
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;
ll n, m, q, K;
ld tot;
ll read(ll x=0)
{
	ll c, f=1;
	for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-f;
	for(;isdigit(c);c=getchar())x=x*10+c-48;
	return f*x;
}
ld solve()
{
	ll i, j, k;
	ld p, ans=0;
	if(K==0)return ld(0);
	for(i=1;i<=n;i++)for(j=1;j<=m;j++)for(k=1;k<=q;k++)
	{
		p = (2*i*(n-i+1)-1)*(2*j*(m-j+1)-1)*(2*k*(q-k+1)-1) / tot;
		ans += (p-0.5)*pow(1.0-2.0*p,K-1)+0.5;
	}
	return ans;
}
int main()
{
	ll T=read(), kase=0;
	while(T--)
	{
		n=read(), m=read(), q=read(), K=read();
		tot = n*m*q*n*m*q;
		printf("Case %lld: %.10Lf\n",++kase,solve());
	}
	return 0;
}