CodeVS2800 送外卖

最新推荐文章于 2023-12-03 18:57:10 发布

原创最新推荐文章于 2023-12-03 18:57:10 发布 · 463 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

状压DP 专栏收录该内容

21 篇文章

订阅专栏

本文介绍了一个状态压缩型动态规划问题的解决方法，包括状态设计、转移方程，并给出了两种实现方式：纯状态压缩DP和Floyd+状态压缩DP，后者通过预处理减少复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目

　　http://codevs.cn/problem/2800/

题解

　　这是状态压缩型动态规划。

　　mdzz做了一节晚自习结果1A了好爽qaq

　　第一次做状压感觉有点费劲。。。

　　状态很好设计：f[i][j]表示在i情形下，当前所在城市为j的最小时间。i是一个二进制数，有N+1位，每一位为0或1代表了这个城市是否被送过外卖。

　　很明显目标状态是f[(1<<(N+1))-1][0]，就是说全都送完了并且最后在0这个点的最短时间。

　　考虑状态f[i][j]，首先考虑我是第一次来j这个点的情况，那么就要在i中抠去1<<j，令t=i-(1<<j)，用剩余的1转移f[i][j]，就是这个意思：对于t中每一个1所对应的点的编号k，用f[t][k]+dist[k][j]去更新f[i][j]。这样得到的f[i][j]是说我仅仅最后一步走到了j这个点，之前一直没有走过。

　　根据题目要求，一个点可能被走多次。考虑一个点被走了多次的情况。那么你就要用一个第j位是1的状态来更新f[i][j]，即是说用f[i][k]+dist[k][j]更新f[i][j]。在做这次更新之前，你的f[i][j]存的应该是最后一步走到j且之前没有来过j的情况，那么用f[i][k]+dist[k][j]更新f[i][j]的意义就是仍然在i情形下，又从j出发走了一步到已走过的点。根据题意，可能存在如下情形：

　　明显地，走到2之后，你要走两步到0，如果仅转移一次的话，答案就成了102，而实际是4。也就是说我们应该做N次这样的同情形下的转移。

（后来补上的：）

　　其实上面最后讨论的那个走多次的问题，让复杂度多一个N。而这个其实可以用一个floyd预处理替代，第二次更新时直接用最短路来更新就好了。

代码

这是纯状压DP(2533ms)

//状态压缩型动态规划 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 17
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int f[1<<maxn][maxn], N, map[maxn][maxn];
void input()
{
	int i, j;
	scanf("%d",&N);
	for(i=0;i<=N;i++)for(j=0;j<=N;j++)scanf("%d",map[i]+j);
}
int dp()
{
	int i, j, k, ans=inf, ii;
	memset(f,inf,sizeof(f));
	f[1][0]=0;
	for(i=1;i<(1<<N+1);i++)
	{
		for(j=0;j<=N;j++)
			if(i&(1<<j))
				for(k=0;k<=N;k++)
					if(i&(1<<k))
						f[i][j]=min(f[i][j],f[i&~(1<<j)][k]+map[k][j]);
		for(ii=1;ii<=N;ii++)
			for(j=0;j<=N;j++)
				if(i&(1<<j))
					for(k=0;k<=N;k++)
						if(i&(1<<k))
							f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+map[k][j]);
	}
	return f[(1<<(N+1))-1][0];
}
int main()
{
	input();
	printf("%d",dp());
	return 0;
}

这是Floyd+状压DP(487ms)

//fpoyd+状压DP 
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 17
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int f[1<<maxn][maxn], N, dist[maxn][maxn];
void input()
{
	int i, j;
	scanf("%d",&N);
	for(i=0;i<=N;i++)for(j=0;j<=N;j++)scanf("%d",dist[i]+j);
}
void floyd()
{
	int i, j, k;
	for(k=0;k<=N;k++)
		for(i=0;i<=N;i++)
			for(j=0;j<=N;j++)
				dist[i][j]=min(dist[i][j],dist[i][k]+dist[k][j]);
}
int dp()
{
	int i, j, k;
	memset(f,inf,sizeof(f));
	f[0][0]=0;
	for(i=1;i<(1<<(N+1));i++)
	{
			for(j=0;j<=N;j++)
				if(i&(1<<j))
					for(k=0;k<=N;k++)
						if(i&(1<<j))
							f[i][j]=min(f[i][j],f[i&~(1<<j)][k]+dist[k][j]);
			for(j=0;j<=N;j++)
				if(i&(1<<j))
					for(k=0;k<=N;k++)
						if(i&(1<<k))
							f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+dist[k][j]);
	}
	return f[(1<<(N+1))-1][0];
}
int main()
{
	input();
	floyd();
	printf("%d",dp());
	return 0;
}