HDU 2844 Coins（多重背包【二进制优化】）

最新推荐文章于 2022-09-09 22:07:37 发布

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本文详细介绍了多重背包问题的解决方法，包括基本算法、转化为01背包问题及其优化方案。通过实例解析了如何将多重背包问题转化为更高效的01背包问题，以减少计算复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Coins

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 10599 Accepted Submission(s): 4218

Problem Description

Whuacmers use coins.They have coins of value A1,A2,A3...An Silverland dollar. One day Hibix opened purse and found there were some coins. He decided to buy a very nice watch in a nearby shop. He wanted to pay the exact price(without change) and he known the price would not more than m.But he didn't know the exact price of the watch.

You are to write a program which reads n,m,A1,A2,A3...An and C1,C2,C3...Cn corresponding to the number of Tony's coins of value A1,A2,A3...An then calculate how many prices(form 1 to m) Tony can pay use these coins.

Input

The input contains several test cases. The first line of each test case contains two integers n(1 ≤ n ≤ 100),m(m ≤ 100000).The second line contains 2n integers, denoting A1,A2,A3...An,C1,C2,C3...Cn (1 ≤ Ai ≤ 100000,1 ≤ Ci ≤ 1000). The last test case is followed by two zeros.

Output

For each test case output the answer on a single line.

Sample Input

  
   3 10
1 2 4 2 1 1
2 5
1 4 2 1
0 0

Sample Output

8
4

Source

2009 Multi-University Training Contest 3 - Host by WHU

看完背包九讲的多重背包之后，这题目应该可以轻松做出来了

模型：

有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

方法：

基本算法

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

复杂度是O(V*Σn[i])。

转化为01背包问题

另一种好想好写的基本方法是转化为01背包求解：把第i种物品换成n[i]件01背包中的物品，则得到了物品数为Σn[i]的01背包问题，直接求解，复杂度仍然是O(V*Σn[i])。

但是我们期望将它转化为01背包问题之后能够像完全背包一样降低复杂度。仍然考虑二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略——取0..n[i]件——均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过n[i]件的策略必不能出现。

方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的费用和价值均是原来的费用和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),n[i]-2^k+1，且k是满足n[i]-2^k+1>0的最大整数。例如，如果n[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。

分成的这几件物品的系数和为n[i]，表明不可能取多于n[i]件的第i种物品。另外这种方法也能保证对于0..n[i]间的每一个整数，均可以用若干个系数的和表示，这个证明可以分0..2^k-1和2^k..n[i]两段来分别讨论得出，并不难，希望你自己思考尝试一下。

这样就将第i种物品分成了O(log n[i])种物品，将原问题转化为了复杂度为<math>O(V*Σlog n[i])的01背包问题，是很大的改进。

以上内容来自背包九讲之多重背包问题

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define maxn 100010
using namespace std;
int dp[maxn],n,k;
int v[101],w[101],V;
void zero(int cost)
{
    for(int i=V;i>=cost;i--)
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-cost]+cost);
}
void complet(int cost)
{
    for(int i=cost;i<=V;i++)
        dp[i]=max(dp[i],dp[i-cost]+cost);
}
void multi(int cost,int amount)
{
    if(cost * amount>=V)
    {
        complet(cost);
        return ;
    }
    int k=1;
    while(k<amount)
    {
        zero(k*cost);
            amount-=k;
        k<<=1;
    }
    zero(amount*cost);
}
int main()
{
    while(scanf("%d %d",&n,&V)==2&&(n||V))
    {
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&v[i]);
		for(int i=0;i<n;i++)
			scanf("%d",&w[i]);
        for(int i=1;i<=V;i++)
			dp[i]=INT_MIN;
		dp[0]=0;
        for(int i=0;i<n;i++)
            multi(v[i],w[i]);
		int count=0;
		for(int i=1;i<=V;i++)
			if(dp[i]>=0)
				count++;
		printf("%d\n",count);
    }
    return 0;
}