51NOD 1040 最大公约数之和（欧拉函数 + 转化）

给出一个n，求1-n这n个数，同n的最大公约数的和。比如：n = 6

1,2,3,4,5,6 同6的最大公约数分别为1,2,3,2,1,6，加在一起 = 15

Input

1个数N(N <= 10^9)

Output

公约数之和

Input示例

6

Output示例

15

对于这道题 1 ~ n 与 n 的最大公约数必定为 n 的因子。这里我们可以O（n^0.5）的复杂度枚举小于sqrt（n）的因子 ai，大于sqrt（n）的因子可以用n / ai 得到。每个因子出现的次数乘以该因子的数值，然后都加起来就是解了。这里不得不说求因子出现个数的转化很巧妙，求 ai 出现的次数等价于求满足 gcd（n，p）= ai 的 p 的个数（p < n），可以转化为求 gcd（n / ai，p / ai）= 1 的 p / ai 的个数即 phi（n / ai）（欧拉函数值），可以在O（n^0.5 logn）解决问题。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define ll long long
ll phi(int x)
{
    ll ans = x;
    for(int i = 2;i * i <= x; ++i)
    {
        if(x % i == 0)
        {
            ans -= ans / i;
            while(x % i == 0) x /= i;
        }
    }
    if(x > 1) ans -= ans / x;
    return ans;
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int maxn = sqrt(n + 0.5);
    ll ans = n;
    for(int i = 2;i <= maxn; ++i)
    {
        if(n % i == 0)
        {
            ans += phi(n / i) * i;
            if(i != n / i) ans += phi(i) * (n / i);
        }
    }
    ans += phi(n);
    printf("%lld\n",n == 1 ? 1 : ans);
    return 0;
}