LightOJ 1336 - Sigma Function(算术基本定理)

最新推荐文章于 2020-07-26 12:36:06 发布

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本文探讨了数学中Sigma函数的性质，特别是当输入为完全平方数或其两倍时，函数值为奇数的特殊情况。通过分析质因数分解和算术基本定理，得出了判断方法及相应的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Sigma Function

题解：首先，分析题目公式 $(1)σ(n)=p1e1+1−1p2−1⋅p2e2+1−1p2−1⋅......⋅pkek+1−1pk−1\sigma(n) = \frac{p_1^{e_1+1}-1}{p_2-1}\cdot \frac{p_2^{e_2+1}-1}{p_2-1}\cdot......\cdot\frac{p_k^{e_k+1}-1}{p_k-1} \tag1$
我们发现可以先求为奇数的个数，再用 $n$ 减去即可。
由等比数列的知识可知：
$(2)pe+1−1p−1=1+p1+p2+......+pe\frac{p^{e+1}-1}{p-1}=1+p^1+p^2+......+p^e\tag 2$
其次我们可以知道除了 $2$ 其它质数都是奇数，因此

$p$ 为奇数时， $p^e$ 一定为奇数，如果要使 $(2)$ 为奇数，那么 $e$ 必为偶数。
$p$ 为偶数，即 $2^e$ ，此时 $(2)$ 必为奇数。

再由算术基本定理 $p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot p_3^{e_3}......p_k^{e_k}$
因此我们可以知道如果是情况一的话， $e_i$ 为偶数， $n$ 此时必定为完全平方数 $X$ ；如果是情况二，此时 $2^e \cdot X$ ，如果 $e$ 为偶数，那么 $n$ 就还是完全平方数，否则 $2\cdot X$ 。

最后显然我们可以发现 $σ(X)\sigma(X)$ 为奇数。

因此我们只需减去 $n$ 以内为 $X$ 和 $2⋅X2\cdot X$ 的情况即可。

代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long LL;

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("input.in","r",stdin);
#endif
	int T, t = 1;
	cin >> T;
	while(T--) {
		LL n;
		cin >> n;
		cout << "Case " << t++ << ": " << n - (LL)sqrt(n) - (LL)sqrt(n / 2.0) << endl;
	}
    return 0;
}