【算数基本定理(唯一分解定理)】Aladdin and the Flying Carpet LightOJ - 1341

最新推荐文章于 2021-09-04 17:00:27 发布

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#算数基本定理 #优化剪枝

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本文介绍算数基本定理的应用及如何利用该原理解决特定数学问题，包括求解一个矩形面积为a且最短边长至少为b时，满足条件的非正方形矩形数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Think:
1知识点：算数基本定理(唯一分解定理)
算术基本定理的几个应用：

注：p1, p2, pi都是素数
同时全体正因数的和也可以写作：

——“算数基本定理”参考博客地址

2题意：输入a, b(1 ≤ b ≤ a ≤ 1e12)，a代表一个矩形的面积，b表示矩形中最小的那条边至少长度为b，询问有多少个符合条件的矩形
注：题意要去本题目中的矩形不是正方形
3解题思路：
通过算数基本定理求得a的所有正因数数量，除以2(求解符合情况的矩形)，然后减去所有小于b的正因数的数量
4反思：
（1）：判断条件b*b > a应转化为判断条件b > a/b，进而避免越界
（2）：通过素数筛得到素数表后，在分解tmp时，可以通过(LL)link[i]*(LL)link[i]优化剪枝(未剪枝之前2312ms+,剪枝之后344ms+)

vjudge题目链接

以下为Accepted代码——344ms

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int size1 = 1004014;

bool primes[size1];
int tp, link[size1];

void get_primes();

int main(){
    get_primes();
    int k = 1, T, cnt, num;
    LL a, b, tmp;
    scanf("%d", &T);
    while(T--){
        scanf("%lld %lld", &a, &b);
        if(b >= a/b){
            printf("Case %d: 0\n", k++);
            continue;
        }
        num = 1, tmp = a;
        for(int i = 0; i < tp && (LL)link[i]*(LL)link[i] <= tmp; i++){
            if(tmp%link[i] == 0){
                cnt = 0;
                while(tmp%link[i] == 0){
                    cnt++;
                    tmp /= link[i];
                }
                num *= (cnt+1);
            }
            if(tmp < link[i]) break;
        }
        if(tmp != 1){
            num <<= 1;
        }
        num >>= 1;
        for(int i = 1; i < b; i++){
            if(a%i == 0) num--;
        }
        printf("Case %d: %d\n", k++, num);
    }
    return 0;
}
void get_primes(){
    tp = 0;
    memset(primes, 0, sizeof(primes));
    primes[0] = 1;
    for(LL i = 2; i < size1; i++){
        if(!primes[i]){
            for(LL j = i*i; j < size1; j += i){
                primes[j] = 1;
            }
            link[tp++] = i;
        }
    }
    return;
}