Solutions to an Equation LightOJ - 1306

题面

题意

Ax + By + C = 0,给出A,B,C和x1,x2,y1,y2,其中x1<=x<=x2且y1<=y<=y2,那么该方程一共有几组整数解

方法

欧扩

一开始先特判a,b中有0的情况
难点之一在于a,b可以为负数,故在进行一系列操作之前先将符号存起来,因为符号不影响数值的绝对值大小,为了更加方便,可以先算出一组解的绝对值,再枚举4种符号匹配方式,找到使等式成立的哪一种情况.
利用欧扩可以求出ax+by=1的一组解,若该方程有解则gcd(a,b)为c的约数,因而我们可以先约去一个gcd(a,b)使a,b互质,然后利用欧扩解出a’x+b’y=1,这时的x,y同时乘上gcd(a,b)即为原方程的解,我定义这组解为x1,y1.
不难发现下述规律(k为任意整数):
x=x1+k*(b/gcd(a,b)).
y=y1+k*(a/gcd(a,b)).
因而可以根据这两个规律求出最大k和最小k,作差加一后即为答案.

注意a,b在解出一组解后要还原符号位.
在解最后的k时,还要根据b/gcd(a,b)和a/gcd(a,b)的正负进行讨论.
同时也应注意是向上取整还是,向下取整.

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
using namespace std;

ll T,TT,a,b,c,xd,xu,yd,yu,bx,by,g,x,y,fh1[]={1,1,1,-1,-1},fh2[]={1,1,-1,1,-1},m1,m2,n1,n2,f1,f2;

ll gcd(ll u,ll v)
{
	while(u!=v&&u&&v)
	{
		if(u>v) u%=v;
		else v%=u;
	}
	return max(u,v);
}

ll ny(ll u,ll v)
{
	if(v)
	{
		ll k=ny(v,u%v);
		x-=(u/v)*y;
		swap(x,y);
		return k;
	}
	else
	{
		x=1;
		y=0;
		return u;
	}
}

int main()
{
//	freopen("1.txt","r",stdin);
//	freopen("2.txt","w",stdout);
	ll i,j;
	cin>>T;
	TT=T;
	while(T--)
	{
		ll ans=0;
		scanf("%lld%lld%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&xd,&xu,&yd,&yu);
		c=-c;
		printf("Case %lld: ",TT-T);
		if(!a&&!b)
		{
			if(!c) printf("%lld\n",(xu-xd+1)*(yu-yd+1));
			else printf("0\n");
			continue;
		}
		if(!a)
		{
			if(c%b==0&&c/b>=yd&&c/b<=yu) printf("%lld\n",xu-xd+1);
			else printf("0\n");
			continue;
		}
		if(!b)
		{
			if(c%a==0&&c/a>=xd&&c/a<=xu) printf("%lld\n",yu-yd+1);
			else printf("0\n");
			continue;
		}
		f1=a/abs(a);a=abs(a);
		f2=b/abs(b);b=abs(b);
		g=gcd(a,b);
		if(abs(c)%g!=0)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		a/=g;
		b/=g;
		ny(a,b);
		a*=f1;
		b*=f2;
		a*=g;
		b*=g;
		x*=c/g;
		y*=c/g;
		for(i=1;i<=4;i++)
		{
			if(fh1[i]*x*a+fh2[i]*y*b==c)
			{
				x*=fh1[i];
				y*=fh2[i];
				break;
			}
		}
//		cout<<a<<' '<<b<<" "<<g<<endl;
		bx=b/g;
		by=-a/g;
//		cout<<x<<" "<<y<<" "<<bx<<" "<<by<<endl;
		if(bx>0)
		{
			m1=(ll)ceil((db)(xd-x)/(db)bx);
			m2=(ll)floor((db)(xu-x)/(db)bx);
		}
		else
		{
			m1=(ll)ceil((db)(xu-x)/(db)bx);
			m2=(ll)floor((db)(xd-x)/(db)bx);
		}
		if(by>0)
		{
			n1=(ll)ceil((db)(yd-y)/(db)by);
			n2=(ll)floor((db)(yu-y)/(db)by);
		}
		else
		{
			n1=(ll)ceil((db)(yu-y)/(db)by);
			n2=(ll)floor((db)(yd-y)/(db)by);
		}
//		cout<<m1<<" "<<m2<<" "<<n1<<" "<<n2<<endl;
		printf("%lld\n",max((ll)0,min(m2,n2)-max(m1,n1)+1));
	}
}