脉冲函数与卷积

本文介绍了脉冲函数与卷积在信号处理中的重要性,特别是对于线性时不变(LTI)系统。通过理解脉冲响应和卷积,可以将复杂信号分解为简单信号的加权和,从而简化LTI系统的分析。文章阐述了卷积的定义,以及如何利用卷积计算系统对任意输入信号的响应。

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前言

近来为准备考研复试,又拾起了大三学的懵懵懂懂的《信号与系统》,看的是MIT的公开课(公开课链接),感觉受益匪浅。

记忆中这门课对脉冲函数的响应和对卷积的研究很多,当初也不知道为什么要研究脉冲函数和卷积,直到最近看了公开课才有一些渐渐明白了,以下是自己的一些理解,如果有不正确的地方欢迎指正与探讨。

L T I LTI LTI系统的性质

对于离散系统,若 y 1 [ n ] y_1[n] y1[n]是对输入 x 1 [ n ] x_1[n] x1[n]的响应, y 2 [ n ] y_2[n] y2[n]是对输入 x 2 [ n ] x_2[n] x2[n]的响应,那么一个 L T I LTI LTI系统应当满足:

  1. 可加性: y 1 [ n ] + y 2 [ n ] y_1[n]+y_2[n] y1[n]+y2[n]是对输入 x 1 [ n ] + x 2 [ n ] x_1[n]+x_2[n] x1[n]+x2[n]的响应;
  2. 齐次性: a y 1 [ n ] ay_1[n] ay1[n]是对输入 a x 1 [ n ] ax_1[n] ax1[n]的响应,此处 a a a为任意复常数;
  3. 时不变: y 1 [ n − k ] y_1[n-k] y1[nk]是对输入 x 1 [ n − k ] x_1[n
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