2. 从波动方程到亥姆赫兹方程

光纤搬运工

已于 2024-02-05 10:30:57 修改

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分类专栏：光纤光学文章标签：算法人工智能机器学习

于 2024-02-05 05:15:00 首次发布

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本文讨论了在波动方程中如何通过假设电场分量来简化处理，类比于数学中的常见解题技巧。通过引入波数k，文章聚焦于电磁分离的过程，最终得出亥姆赫兹方程作为波动方程的一个特例。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

波动方程中同时包含了时间和空间分量，为进一步简化波动方程，可以假设电场分量为

$E = {E_m}exp\left( {i\omega t} \right)$ （1）

（注：这个假设对我而言有点突兀，但我想对于数学好的人来说就是一个常见的解题思路。可能就像高中数列题，看到某一种题型，大致就能猜出数列的形式。）

代入波动方程，得：

${\nabla ^2}E + \varepsilon \;\mu {\omega ^2}E = 0$ （2）

令 $k^{2}=\varepsilon \mu \omega^{2}$ ，k 称为波数，最终得到亥姆赫兹方程：

${\nabla ^2}E + {{\rm{k}}^2}E = 0$ （3）

注：亥姆赫兹方程只是波动方程的一个特例，公式（1）将电场的时间和空间维度分离，这一过程称为电磁分离。

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