本章开始介绍传输线理论。
传输线理论在基本电路理论和场分析之间架起了桥梁，在微波网络分析中有重要的意义。
往期整理：
笔记：
第一章：
0:介绍
1:麦克斯韦方程组
2:介质中的场
3:介质中的边界条件
4:波方程和基本平面波的解
5:平面波的通解；补充
6:电磁场能量(坡印廷定理)
7:分界面上电磁波的反射
8:互易定理与镜像理论
第二章：
9:传输线模型(本期)
例题：
第一次
文章目录
传输线"集总元件"电路模型
模型介绍
在0:介绍中已经说过了“长线效应”。电路理论和传输线理论的关键差别就是电尺寸。电路分析中假定网络的物理尺寸要比波长小得多，但传输线的尺寸可能只有波长的几分之一至几倍，导致整个长度内，电压和电流的相位、幅值都会发生显著变化。
如图，传输线经常用双线来表示，因为传输线的传播至少需要两根导体。
实际上，两根线一根为信号线，一根为返回线。信号在传输的时候，并不是先走信号线再走返回线，而是通过给单位等效电容充放电-电磁-电流-磁场，如此交替向前传播。（参考知乎文章）
图中，传输线上无穷小长度 Δ z \Delta z Δz的一段传输线可以模拟为下面一个集总元件电路。其中：
- R：两导体单位长度间的串联电阻， Ω / m \Omega/m Ω/m，来源于两导体有限电导率产生的电阻
- L：两导体单位长度间的串联电感， H / m H/m H/m，来源于两导体的总自感
- G：两导体单位长度间的并联电导， S / m S/m S/m，来源于两导体间填充介质的介电损耗
- C：两导体单位长度间的并联电容， F / m F/m F/m，来源于两导体的紧密贴近
而有限长度的传输线可以看成是多个图示集总元件电路的级联。
传输线方程（电报方程）
传输线中的电压电流关系可以用下图描述：
对于图中的电路，可以用基尔霍夫电压定律(KVL)给出：
v ( z , t ) − R Δ z i ( z , t ) − L Δ z ∂ i ( z , t ) ∂ t − v ( z + Δ z , t ) = 0 (9.1) v(z,t)-R\Delta zi(z,t)-L\Delta z\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}-v(z+\Delta z,t)=0\tag{9.1} v(z,t)−RΔzi(z,t)−LΔz∂t∂i(z,t)−v(z+Δz,t)=0(9.1)
式(9.1)的含义是：从 z z z开始，取极小的一段传输线( z z z~ z + Δ z z+\Delta z z+Δz)。那么 z z z处两根导体线之间的电势差（路径1），就等于 z z z出发向右一段传输线上的电势差加上 z + Δ z z+\Delta z z+Δz处两根导线之间的电势差（路径2）。可以用下图来描述：
而由基尔霍夫电流定律(KCL)可以导出：
i ( z , t ) − G Δ z v ( z + Δ z , t ) − C Δ z ∂ v ( z + Δ z , t ) ∂ t − i ( z + Δ z , t ) = 0 (9.2) i(z,t)-G\Delta zv(z+\Delta z,t)-C\Delta z\frac{\partial v(z+\Delta z,t)}{\partial t}-i(z+\Delta z,t)=0\tag{9.2} i(z,t)−GΔzv(z+Δz,t)−CΔz∂t∂v(z+Δz,t)−i(z+Δz,t)=0(9.2)
式(9.2)的含义是：从 z z z开始，取极小的一段传输线( z z z~ z + Δ z z+\Delta z z+Δz)。那么流入 z z z节点的电流(路径1)，被分流成了向下方传输线的电流(路径2)以及向右继续前进至 z + Δ z z+\Delta z z+Δz的电流(路径3)。可以用下图来描述：
对式(9.1)和(9.2)同除以 Δ z \Delta z Δz并求 Δ z → 0 \Delta z \rightarrow 0 Δz→0时的极限，得以下微分方程：
∂ v ( z , t ) ∂ z = − R i ( z , t ) − L ∂ i ( z , t ) ∂ t (9.3a) \frac{\partial v(z,t)}{\partial z}=-Ri(z,t)-L\frac{\partial i(z,t)}{\partial t}\tag{9.3a} ∂z∂v(z,t)=−Ri(z,t)−L∂t∂i(z,t)(9.3a) ∂ t ( z , t ) ∂ z = − G v ( z , t ) − C ∂ v ( z , t ) ∂ t (9.3b) \frac{\partial t(z,t)}{\partial z}=-Gv(z,t)-C\frac{\partial v(z,t)}{\partial t}\tag{9.3b} ∂z∂t(z,t)=−Gv(z,t)−C∂t∂v(z,t)(9.3b)
这就是传输线方程(电报方程)的时域形式。
传输线方程和麦克斯韦方程一样，能够联系起电磁场的瞬时值、空间变化量、时间变化量。
对于简谐稳态条件，具有余弦形式的限量形式，式(9.3)可简化为：
d V ( z ) d z = − ( R + j ω L ) I ( z ) (9.4a) \frac{d V(z)}{d z}=-(R+j\omega L)I(z)\tag{9.4a} dzdV(z)=−(R+jωL)I(z)(9.4a) d I ( z ) d z = − ( G + j ω C ) V ( z ) (9.4b) \frac{d I(z)}{d z}=-(G+j\omega C)V(z)\tag{9.4b} dzdI(z)=−(G+jωC)V(z)(9.4b)
传输线上波的传播
传输线的电压电流
联立式(9.4)可以解出 V ( z ) , I ( z ) V(z),I(z) V(z),I(z)的波方程：
d 2 V ( z ) d z 2 − γ 2 V ( z ) = 0 (9.5a) \frac{d^2V(z)}{dz^2}-\gamma^2V(z)=0\tag{9.5a} dz2d2V(z)−γ2V(z)=0(9.5a) d 2 I ( z ) d z 2 − γ 2 I ( z ) = 0 (9.5b) \frac{d^2I(z)}{dz^2}-\gamma^2I(z)=0\tag{9.5b} dz2d2I(z)−γ2I(z)=0(9.5b)
γ \gamma γ是复传播常数，是频率的函数。满足:
γ = α + j β = ( R + j ω L ) ( G + j ω C ) (9.6) \gamma=\alpha+j\beta=\sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}\tag{9.6} γ
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