数据结构--树

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本文详细介绍了树和二叉树的基本概念及相关术语，包括节点的度、叶子节点、树的度等，并深入探讨了二叉树的性质及其遍历方法，包括先序、中序和后序遍历。

树（二叉树）的基本概念

编程语言：python

作者：黑暗主宰

邮箱：shengzhanhe@gmail.com

文章目录

数据结构--树

数据结构–树

树的概念

树是一种非线性的数据结构，是由 $n （ n > = 0 ）$ 个结点组成的有限集合；它是一种类似于链表的数据结构，不过链表的结点是以线性方式简单地指向其后继结点，而树的一个结点可以指向许多个结点。它具有以下的特点：

每个节点有零个或多个子节点
没有父节点的节点成为根节点
每一个非根节点有且只有一个父节点
除了根节点外，每个子节点可以分为多个不想交的子树

在这里插入图片描述

二叉树

二叉树的定义：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树，通常子树被称为左子树和右子树。

二叉树的性质：

在二叉树的第 $i$ 层至多有 ${2^{{\rm{i}} - 1}}$ 个节点 $（ i > 0 ）$
深度为 $k$ 的二叉树至多 $2^m-1$ 个节点 $(k > 0)$
对于任意一颗二叉树，如果其叶节点数为 $N_0$ ，而度数为2的节点总数为 $N_2$ , 则 $N_0 = N_2 + 1$ 。（对于这个性质的证明可以看这个博客）
具有 $n$ 个节点（这里的节点不包括叶子节点）的完全二叉树的深度必为 $\log 2\left( {n + 1} \right)$
对完全二叉树，若从上至下、从左到右编号，则编号为 $i$ 的节点，其做孩子编号必为 $2 i$ ，其右孩子编号必为 $2 i + 1$ ；其双亲的编号必为 $i / 2$ （ $i = 1$ 时为根除外）

二叉树的遍历

对于二叉树的遍历，主要分为三种：先序遍历、中序遍历和后续遍历（还有一个层次遍历可以算是第四种吧）。

在这里插入图片描述

如上图，先序遍历（根->左->右）是：145；中序遍历（左->根->右）是（415）；后续遍历（左->右->根）是451，即根节点的位置决定遍历的种类。

对于复杂一点的二叉树，看下图

在这里插入图片描述

在上述，先序、中序、后续三种遍历中，给出两种方式就可以写出整个树，其中必须要包括中序。

代码实现树的遍历

节点的构建

class Node(object):
    def __init__(self, item):
        self.elem = item
        self.lchild = None
        self.rchild = None

然后使用上述节点构建树，并实现树节点的添加、层次遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历。

class Tree(object):
    
    def __init__(self):
        self.root = None
    
    def add(self, item):
        node = Node(item)
        # 根节点为空的特殊清楚
        if self.root is None:
            self.root = node
            return
        
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            if cur_node.lchild is None:
                cur_node.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.lchild)
            
            if cur_node.rchild is None:
                cur_node.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(cur_node.rchild)
    
    def breadth_travel(self):
        #根节点为空的情况
        if self.root is None:
            return
        queue = [self.root]
        while queue:
            cur_node = queue.pop(0)
            print(cur_node.elem, end = ' ')
            if cur_node.lchild is not None:
                queue.append(cur_node.lchild)
            if cur_node.rchild is not None:
                queue.append(cur_node.rchild)
    '''
    先序遍历
    '''
    def preorder(self, node):
        
        if node is None:
            return
        print(node.elem, end=" ")
        self.preorder(node.lchild)
        self.preorder(node.rchild)
    
    '''
    中序遍历
    '''
    def inorder(self, node):
        if node is None:
            return 
        self.inorder(node.lchild)
        print(node.elem, end=" ")
        self.inorder(node.rchild)
    
    '''
    后序遍历
    '''
    def postorder(self, node):
        if node is None:
            return
        self.postorder(node.lchild)
        self.postorder(node.rchild)
        print(node.elem, end=" ")

代码测试

tree = Tree()
tree.add('0')
tree.add('1')
tree.add('2')
tree.add('3')
tree.add('4')
tree.add('5')
tree.add('6')
tree.add('7')
tree.breadth_travel()
print()
tree.preorder(tree.root)
print()
tree.inorder(tree.root)
print()
tree.postorder(tree.root)