青蛙的约会详解（扩展欧几里得）-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Endeavor_G/article/details/88997098

solution：输入，a，b，m，n，l，则(a+mt)%l==(b+nt)%l时，他们相遇

不定方程:(n-m)x+ly=b-a。化为ax+by=c的形式，可以判断，若c%gcd(a,b)!=0则青蛙永远不能相遇

接下来用exgcd求出一组特解x0,y0。

部分摘自https://blog.youkuaiyun.com/u013377068/article/details/79748279

假设am + bn == gcd(a,b).

可以求出一个x满足此式子，然后由于c是gcd(a,b)的倍数，所以x=x*(c/gcd(a,b))

要求x是满足的最小正整数，则式子am + bn == c，可以变成 $\frac{a}{gcd(a,b))}m+\frac{b}{gcd(a,b)}n=\frac{c}{gcd(a,b)}$

则扩展gcd求出来的一组特解x_0,y_0满足 $\frac{a}{gcd(a,b))}(x_0+\frac{b}{gcd(a,b)}*k)+\frac{b}{gcd(a,b)}(y_0-\frac{a}{gcd(a,b))}*k)=\frac{c}{gcd(a,b)}$ ，k是常数

#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll a, b, x, y, l, n, m;
ll exgcd(ll a, ll b) {
    if(!b) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(b, a % b);
    ll t = x;
    x = y;
    y = t - (a / b) * y;
    return d;
}
int main() {
    cin >> a >> b >> m >> n >> l;
    ll c = a - b;
    a = n - m, b = l;
    ll gcd = exgcd(a, b);
    if(c % gcd != 0) {
        cout << "Impossible" << endl;
        return 0;
    }
    x = (c / gcd) * x;
    x %= (b / gcd);
    if(x < 0)
        x += (b / gcd);
    cout << x;
    return 0;
}