复杂动态规划

整数划分

题目大意
一个正整数 $n$ 可以表示成若干个正整数之和，形如：$n=n_1+n_2+\dots +n_k$，其中 $n_1\ge n_2\ge \dots \ge n_k,k\ge 1$。
我们将这样的一种表示称为正整数n的一种划分。
现在给定一个正整数 $n$，请你求出 $n$ 共有多少种不同的划分方法。
输入格式
共一行，包含一个整数 $n$。
输出格式
共一行，包含一个整数，表示总划分数量。
由于答案可能很大，输出结果请对$10^9+7$取模。
数据范围：$1\le n\le 1000$
输入样例

5

输出样例

7

$1.状态表示：dp[i][j]表示j个数凑出容量为i的方案数。$
$2.状态转移方程：最后一个数是大于0与最后一个数大于0的两种方案数之和。即dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i-j][j]$

#include <cstdio>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int dp[1007][1007];  // dp[i][j]:前 j 个数,容量为 i 的方案数
int main()
{
   
    int n;
    scanf("%d",&n);
    
    for(int i = 0; i <= n; i++) dp[0][i] = 1;  // i 个数,全 0 方案数为 1
    for(int i = 0; i <= n; i++)  //容量为 i
        for(int j = 1; j <= n; j++)  // 个数为 j 个
        {
   
            dp[i][j] = dp[i][j-1]%mod;
            if(i >= j) dp[i][j] += dp[i-j][j]%mod;
        }
    printf("%d\n",dp[n][n]);
    return 0;
}

#include <cstdio>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int dp[1007];
int main()
{
   
    int n;
    scanf("%d",&n);
    dp[0]=1;  //容量为 0 的方案数是 1

    for(int i=1;i<=n;++i)  //枚举物品
        for(int j=i;j<=n;++j)  //枚举容量
            dp[j]=(dp[j]+dp[j-i])%mod;

    printf("%d\n",dp[n]);
    return 0;
}

鸣人的影分身

题目大意
在火影忍者的世界里，令敌人捉摸不透是非常关键的。
我们的主角漩涡鸣人所拥有的一个招数——多重影分身之术——就是一个很好的例子。
影分身是由鸣人身体的查克拉能量制造的，使用的查克拉越多，制造出的影分身越强。
针对不同的作战情况，鸣人可以选择制造出各种强度的影分身，有的用来佯攻，有的用来发起致命一击。
那么问题来了，假设鸣人的查克拉能量为 $M$，他影分身的个数最多为 $N$，那么制造影分身时有多少种不同的分配方法？
注意：影分身可以分配0点能量。
分配方案不考虑顺序，例如：$M=7,N=3$，那么 (2,2,3) 和 (2,3,2) 被视为同一种方案。
输入格式
第一行是测试数据的数目 $t$。
以下每行均包含二个整数 $M$ 和 $N$，以空格分开。
输出格式
对输入的每组数据 $M$ 和 $N$，用一行输出分配的方法数。
数据范围：$0\le t\le 20,1\le M,N\le 10$
输入样例

1
7 3

输出样例

8

1.确定状态：$dp[i][j]$ 表示 $j$ 个数，和为 $i$ 的方案数。
2.状态转移方程：最后一位是 0 表示为 $dp[i][j-1]$，最后一位大于 0 表示为 $dp[i-j][j]$

#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int maxn = 20;
int dp[maxn][maxn];
int main()
{
   
    int n, m, t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
   
        memset(dp, 0, sizeof dp);
        scanf("%d%d",&m,&n);
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 0; i <= m; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
            {
   
                dp[i][j] = dp[i][j-1];  //最后一个数是 0
                if(i >= j) dp[i][j] += dp[i-j][j];  // 最后一个数大于 0
            }
        printf("%d\n",dp[m][n]);
    }
    return 0;
}

糖果

题目大意
由于在维护世界和平的事务中做出巨大贡献，$Dzx$ 被赠予糖果公司2010年5月23日当天无限量糖果免费优惠券。
在这一天，$Dzx$ 可以从糖果公司的 $N$ 件产品中任意选择若干件带回家享用。
糖果公司的 $N$ 件产品每件都包含数量不同的糖果。
$Dzx$ 希望他选择的产品包含的糖果总数是 $K$ 的整数倍，这样他才能平均地将糖果分给帮助他维护世界和平的伙伴们。
当然，在满足这一条件的基础上，糖果总数越多越好。
$Dzx$ 最多能带走多少糖果呢？
注意：$Dzx$只能将糖果公司的产品整件带走。
输入格式
第一行包含两个整数 $N$ 和 $K$。
以下 $N$ 行每行 1 个整数，表示糖果公司该件产品中包含的糖果数目，不超过 1000000。
输出格式
符合要求的最多能达到的糖果总数，如果不能达到 $K$ 的倍数这一要求，输出 0。
数据范围：$1\le N\le 100,1\le K\le 100$
输入样例

5 7
1
2
3
4
5

输出样例

14

样例解释： D z x Dzx