高等数学——一元函数可导、连续、极限、间断点

可导、连续、极限的关系

①判断函数某点是否可导时，可以用导数的定义进行判断，即设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时,若**[f(x0+a)-f(x0)]/a的极限存在**,则称f(x)在x0处可导。
②判断函数某点是否可导时，可以利用函数在该点的左右导数是否相等进行判断，即当左右导数相等时，函数在该点可导，若左右导数不相等时，函数在该点不可导。
③判断函数可导和连续的关系时，可导一定连续，连续不一定可导。
④判断函数是否连续时，可以利用函数连续的定义进行判断，即设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若lim(x→m)f(x)=f(m), 则称f(x)在点m处连续。
⑤判断函数在某点的极限是否存在时，可以利用函数该点的左右极限是否相等进行判断，即当该点左右极限相等时，函数在该点的极限存在，当左右极限不相等时，函数在该点的极限不存在（当左右极限有一个不存在时，函数在该点的极限也不存在。

函数的几种间断点

①可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。
②跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。
③无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。
④振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。
注：可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点，也叫有限型间断点。其它间断点称为第二类间断点。