8.3 快速幂

思路

求n的k次幂->首先想到双循环暴力->时间复杂度O($n^2$) 100%TLE
减少不必要的循环次数->自乘
例：$n^9$=$n^2$+$n^3$+$n^4$ ，而$n^3$和$n^4$都可以通过$n^2$自乘得到。
如果将n转换成二进制，看一下数位，想的会更清晰。

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洛谷P1226 快速幂 | 取余运算

题目描述

给你三个整数 $a,b,p$，求 $a^b\mathrm{mod}p$。

输入格式

输入只有一行三个整数，分别代表 $a,b,p$。

输出格式

输出一行一个字符串 a^b mod p=s，其中 $a,b,p$ 分别为题目给定的值， $s$ 为运算结果。

样例 #1

样例输入 #1

2 10 9

样例输出 #1

2^10 mod 9=7

提示

样例解释

$2^{10}=1024$，$1024\mathrm{mod}9=7$。

数据规模与约定

对于 $100\%$ 的数据，保证 $0\le a,b<2^{31}$，$a+b>0$，$2\le p<2^{31}$。

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代码实现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

ll qmi(ll a,ll b,ll p)
{
	ll res = 1;//储存结果
	while(b)//循环所有的数位
	{
		if(b & 1)//如果二进制数位上的值为1，就进行计算
		{
			res = res*a % p;//数位上有数，储存
			//注意运算符优先级：取模 比 *= 优先 所以不能 res*=a%p 这样写
		}
		a = a*a % p;//无论数位1/0都要计算a^1,a^2,a^3...
		b >>= 1;//计算完一个数位，右移一位，把这一位丢掉
	}
	return res;
 } 
int main()
{
	long long a,b,p;
	cin>>a>>b>>p;
	printf("%lld^%lld mod %lld=%lld",a,b,p,qmi(a,b,p));//注意输出格式
	return 0;
}