[分组背包] 牛客练习赛22C(bitset优化)

背包问题与Bitset优化

最新推荐文章于 2024-11-07 21:17:23 发布

原创最新推荐文章于 2024-11-07 21:17:23 发布 · 351 阅读

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#算法 #动态规划

本文探讨了一种基于背包思想的动态规划问题，通过Bitset优化实现高效计算。具体介绍了如何利用Bitset进行状态压缩，将原O(n^5)的时间复杂度降低至O(n/32)，并给出了具体的代码实现。

题面

link
一共有 n个数，第 i 个数是 $x_i$ , $x_i$ 可以取 $l_i , r_i]$ 中任意的一个值。
设 $\sum{{x_i}^2}$ , 求 S 种类数。

分析

这一题主要用的是分类背包的思想， $d p [i] [j]$ 表示的是考虑到第 $i$ 个区间，S是否能取到 $j$ ，取到为1，取不到为0。
进行三重循环遍历(第一层区间数 $n$ ，第二层 $j$ 的取值可以到达 $n^3$ ，第三层为区间中的每个数遍历为 $n$ )，总复杂度到达了 $O(n^5)$ 。
这样进行动态规划的话比较浪费时间和内存，因为每个状态只有01两种取值，因此可以用 bitset 进行优化，将 $\ int$ 压成 $\ bit$ 。

bitset的基本用法：link (bitset可以进行各种位操作，以及 $c o u n t ， s e t$ 方法的使用)
可以 $d p [i]$ 表示第 $i$ 个区间可以表示的S(S的最大取值为 $10^6$ ,因此bitset最多需要 $10^6$ 位), 对于区间中的每个数 $j$ ,可以得出这样的转移方程 $\ |= \ dp[i-1]<<(j*j)$ , 这样复杂度降到了 $O (n / 32)$ , 并且其中的位操作是更快的。
最后答案即为 $d p [n]$ 中1的个数，可以用 $c o u n t ()$ 方法得到。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

bitset<maxn> dp[102];
int n, l ,r;

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    dp[0].set(0);             //第0位要置1
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%d %d", &l, &r);
        for(int j = l; j <= r; j++)
            dp[i] |= dp[i-1]<<(j * j);
    }
    printf("%d\n", dp[n].count());
}