2020牛客多校第四场 H Harder Gcd Problem

最新推荐文章于 2020-11-12 16:23:52 发布

原创最新推荐文章于 2020-11-12 16:23:52 发布 · 1.3k 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#算法

本文介绍了一种解决寻找最多数对(i,j)，满足1≤i,j≤n且gcd(i,j)>1的问题的算法。通过按最大质因数分组并从后向前匹配的方法，实现了O(n)的时间复杂度。

H

(~~只会做3题所以在比赛的时候就开始写题解了~~ )
题意是说对于 $1, 2 . . . . n$ ，找到最多的数对 $(i, j) (1 \leq i, j \leq n)$ (一个数字只能出现在一个数对里)，满足 $g c d (i, j) > 1$ 。

经过简单分析，我们发现 $1$ 不行，也易得大于 $n / 2$ 的质数也不行，那其他的数能不能互相两两成对呢？我是这样构造的：把数字按照其最大质因数进行分组然后从后往前匹配，以 $n = 27$ 为例：

最大质因数	数字
2	2， 4， 8， 16
3	3， 6， 9， 12， 18， 24， 27
5	5， 10， 15， 20， 25
7	7， 14
11	11， 22
13	13， 26
17	17
19	19
23	23

$17, 19, 23$ 都是大于 $26 / 13 = 2$ 的质数，肯定是匹配不到的，然后对于质数 $13$ , 可以让 $13$ 和 $26$ 匹配，对于质数 $11$ ，可以让 $11$ 和 $22$ 匹配，对于质数 $7$ ，可以让 $7$ 和 $14$ 匹配。
而质数 $5$ 有5个元素该怎么办呢？我们可以发现，对于质数 $p$ ，它集合里的第一个元素是 $p$ ，第二个元素是 $2 p$ ，若是两两配对还多一个的话，我们可以考虑把 $2 p$ 放入质数 $2$ 的集合里。所以我们匹配 $5$ 和 $15$ ， $20$ 和 $25$ ，把 $10$ 放入质数 $2$ 的集合里。
同理对于质数 $3$ 的集合，我们可以将 $6$ 放入质数 $2$ 的集合里, 这样质数 $2$ 里就有 ${2, 4, 8, 16, 10, 6\}$ , 剩下的两两匹配即可。

最大质因数我们可以提前筛出来，然后每次从后往前遍历的操作是 $O (n)$ 。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<double, double> P;
const int maxn = 2e5 + 10;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const double eps = 1e-11;
const ll mod = 1e9 + 7;

int vis[maxn], mark[maxn], tot, record[maxn][2];
vector<int> v[18000];

void Prim()
{
    for(int i = 2; i <= 2e5; i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            mark[i] = tot++;         //记录质数的编号，mark[2] = 0,mark[3] = 1...
            for(int j = 1; j * i <= 2e5; j++)
                vis[i*j] = i;        //记录最大质因数
        }
    }
}

int main()
{
    Prim();
    int t, cnt, n, mx;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        cnt = 0;
        mx = 0;
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 2; i <= n; i++)
        {
            v[mark[vis[i]]].push_back(i);    //vis[i]记录了最大质因数，mark[vis[i]]记录了质因数的编号
            mx = max(mx, mark[vis[i]]);      //记录出现最大的质因数
        }

        for(; mx >= 1; mx--)
        {
            if(v[mx].size() == 1)
            {
                v[mx].clear();
                continue;
            }
            if(v[mx].size() % 2)       //奇数个
            {
                v[0].push_back(v[mx][1]);          //将第2个元素push入v[0]，即质数2的元素集合
                record[++cnt][0] = v[mx][0], record[cnt][1] = v[mx][2];
                for(unsigned int j = 4; j < v[mx].size(); j += 2)
                    record[++cnt][0] = v[mx][j], record[cnt][1] = v[mx][j-1];
            }
            else
            {
                for(unsigned int j = 1; j < v[mx].size(); j += 2)
                    record[++cnt][0] = v[mx][j], record[cnt][1] = v[mx][j-1];
            }
            v[mx].clear();               //由于有多组输入，一定要清空
        }
        for(unsigned int j = 1; j < v[0].size(); j += 2)
            record[++cnt][0] = v[0][j], record[cnt][1] = v[0][j-1];
        v[0].clear();

        printf("%d\n", cnt);
        for(int i = 1; i <= cnt; i++)
            printf("%d %d\n", record[i][0], record[i][1]);
    }
}