B树的概念

基本概念

B树，又称多路平衡查找树(绝对平衡，无高度差），B树中所有结点的孩子个数的最大值称为B树的阶，通常用表示。一棵m阶B树或为空树，或为满足如下特性的m叉树：

1. 根结点的子树数$\in [2,m]$；根结点的关键字数$\in [1,m-1]$。其他结点的子树数$\in [\lceil m/2\rceil ,m]$；其他结点的关键字数$\in [\lceil m/2\rceil -1,m-1]$
   （包括失败结点也成立）
2. 对于任一结点，其所有子树高度都相同
3. 关键字的值：子树0<关键字1<子树1<关键字2<子树2<…(类比二叉查找树 左<中<右)
4. 所有叶子结点均不带信息（为失败结点）

B树的高度问题

含n个关键字的m阶B树，最小、最大高度是多少？（此处n个关键字为总关键字数）

1. 最小高度
   让所有结点尽可能满
   $\to$ 每个结点的关键字数都为m-1

-	root	第2层	第3层	第h层
结点数	1	m	$m^2$	$m^{i-1}$

则高度为h的m阶B树，最多总关键字数为
$$(m-1)(1+m+m^2+..m^{h-1})$$
$$n\le (m-1)(1+m+m^2+..m^{h-1})$$
$$h\ge lo{g}_m(n+1)$$

2. 最大高度
   让所有结点仅可能的空，分叉尽可能的少

-	root	第2层	第3层	第h层
结点数	1	2	2*$\lceil m/2\rceil$	2*$(\lceil m/2\rceil {)}^{h-2}$

第h+1层（叶子结点）失败结点共有$2\ast (\lceil m/2\rceil {)}^{h-1}$

又因为n个关键字（总）的B树一定有n+1个叶子结点（理解为$[-\infty ,+\infty ]$被n个关键字切分为n+1个区域）
则
$$n+1\ge 2\ast (\lceil m/2\rceil {)}^{h-1}$$
得
$$h\le lo{g}_{\lceil m/2\rceil }\frac{n+1}{2}+1$$