The Discrete Fourier Transform (DFT)（3）

最新推荐文章于 2024-07-05 13:58:25 发布

SilenceHell

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分类专栏： Fourier Optics and Computation

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本文深入解析离散傅里叶变换(DFT)的原理与应用，从连续傅里叶变换出发，通过冲击函数取样，详细推导出DFT公式。探讨了如何将连续函数转换为离散数据，并通过平均分割获取最终离散结果。

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再回首看之前写的两篇文章，总感觉还欠差一点什么，这里在加一点。

虽然对傅里叶变换有了一定的理解，但是每次看到离散傅里叶变换的公式还是有点懵的感觉，这里将详细的退一下离散傅里叶变换公式的由来及其意义。
何为离散傅里叶变换？就是先将连续傅里叶变换通过冲击函数进行取样获得离散的数据，然后对这些离散的数据进行傅里叶变换，这就是傅里叶离散变换，公式如下：
$F~(u)=∫−∞∞f~(t)e−j2πutdt=∫−∞∞∑n=−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πutdt=∑n=−∞∞∫−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πutdt=∑n=−∞∞fne−j2πunΔT\widetilde{F}(u)=\int^{\infty}_{-\infty}\widetilde{f}(t)e^{-j2\pi ut}dt\\ =\int^{\infty}_{-\infty}\sum^{\infty}_{n=-\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt\\ =\sum^{\infty}_{n=-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt\\ =\sum^{\infty}_{n=-\infty}f_ne^{-j2\pi un\Delta T}$
上式的最后一个公式无非是应用了冲击响应的性质将t替换成了 $nΔTn\Delta T$ 而已，没什么了不起的，很好理解。接下来才是重点。
我们知道离散傅里叶变换得到的结果也是离散函数，而上面得到的是连续函数，所以上面不是我们真正想要的解。
上面的连续函数是f(x)的傅里叶变换函数F(u)以 $ΔT\Delta T$ 为周期平移得到的，而我们需要的只是其中一个周期即[0, $ΔT\Delta T$ ]内的部分，因为这部分就是F(u),为了得离散的数据，我们将[0, $ΔT\Delta T$ ]的数据平均分成M份(因为原始数据为M个离散点)，而这m份就是我们最后的结果，他们的坐标为：
$u=mMΔTu=\frac{m}{M\Delta T}$
带入之前的式子就得到了离散傅里叶变换的公式了：
$Fm=∑n=0M−1e−j2πmn/M,m=0,1,2,3,4...,M−1F_m=\sum_{n=0}^{M-1}e^{-j2\pi mn/M},m=0,1,2,3,4...,M-1$