本文深入解析离散傅里叶变换(DFT)的原理与应用，从连续傅里叶变换出发，通过冲击函数取样，详细推导出DFT公式。探讨了如何将连续函数转换为离散数据，并通过平均分割获取最终离散结果。
再回首看之前写的两篇文章，总感觉还欠差一点什么，这里在加一点。
虽然对傅里叶变换有了一定的理解，但是每次看到离散傅里叶变换的公式还是有点懵的感觉，这里将详细的退一下离散傅里叶变换公式的由来及其意义。
何为离散傅里叶变换？就是先将连续傅里叶变换通过冲击函数进行取样获得离散的数据，然后对这些离散的数据进行傅里叶变换，这就是傅里叶离散变换，公式如下：
F~(u)=∫−∞∞f~(t)e−j2πutdt=∫−∞∞∑n=−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πutdt=∑n=−∞∞∫−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πutdt=∑n=−∞∞fne−j2πunΔT\widetilde{F}(u)=\int^{\infty}_{-\infty}\widetilde{f}(t)e^{-j2\pi ut}dt\\
=\int^{\infty}_{-\infty}\sum^{\infty}_{n=-\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt\\
=\sum^{\infty}_{n=-\infty}\int^{\infty}_{-\infty}f(t)\delta(t-n\Delta T)e^{-j2\pi ut}dt\\
=\sum^{\infty}_{n=-\infty}f_ne^{-j2\pi un\Delta T}F(u)=∫−∞∞f(t)e−j2πutdt=∫−∞∞n=−∞∑∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πutdt=n=−∞∑∞∫−∞∞f(t)δ(t−nΔT)e−j2πutdt=n=−∞∑∞fne−j2πunΔT
上式的最后一个公式无非是应用了冲击响应的性质将t替换成了nΔTn\Delta TnΔT而已，没什么了不起的，很好理解。接下来才是重点。
我们知道离散傅里叶变换得到的结果也是离散函数，而上面得到的是连续函数，所以上面不是我们真正想要的解。
上面的连续函数是f(x)的傅里叶变换函数F(u)以ΔT\Delta TΔT为周期平移得到的，而我们需要的只是其中一个周期即[0,ΔT\Delta TΔT]内的部分，因为这部分就是F(u),为了得离散的数据，我们将[0,ΔT\Delta TΔT]的数据平均分成M份(因为原始数据为M个离散点)，而这m份就是我们最后的结果，他们的坐标为：
u=mMΔTu=\frac{m}{M\Delta T}u=MΔTm
带入之前的式子就得到了离散傅里叶变换的公式了：
Fm=∑n=0M−1e−j2πmn/M,m=0,1,2,3,4...,M−1F_m=\sum_{n=0}^{M-1}e^{-j2\pi mn/M},m=0,1,2,3,4...,M-1Fm=n=0∑M−1e−j2πmn/M,m=0,1,2,3,4...,M−1
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