形态学之凸壳

到目前为止我还没有应用到凸壳，但是凸壳算法倒是接触过几个，这里简单写写形态学凸壳。

凸壳的公式如下：
$$X_k^i=(X_{k-1}\otimes B^i)\cup Ai=1,2,3,4k=1,2,3...$$
其中$X_0^i=A$。当该过程收敛时(即当$X_k^i=X_{k-1}^i$时)，我们另$D^i=X_k^i$,则A的凸壳为：
$$C(A)={\cup }_{i-1}^4{D}^i$$

说实话，我刚看到这个公式的时候是懵逼的，但是结合下面的图就很简单理解了。

我们首先有四个不同的element $B_i$,我们首先用到第一个$B_1$对$X_0^1$($X_0^1$等于A)做击中击不中变换，然后与A做并集，得到$X_1^1$然后迭代直到$X_k^i=X_{k-1}^i$,我们停止迭代，计最终结果为$D_1$即上图的$X_4^1$，同理我们用其他的三个element $B_i$得到$D_2,D_3,D_4$,最后将这四个D求并集就得到了我们的凸包。

注：用$B_i$做击中击不中变换的结果是我们值得注意的，这四个结构元的远点均在其中心处，“×”项表示“不考虑”的条件，即当A中的一个33区域的中心为0时，而在阴影模板元素下的三个像素为1时，就出现了一个模板匹配。出现模板匹配时，这个33区域的0中心将会被选中，这样就填补了本来是0的孔洞区域，然后与A求并，就将A的范围变大了。当这四个模板不能够更新出新的像素时，那么凸包就形成了。

缺点：上述过程的一个明显缺点是凸壳可能超出确保凸性所需的最小尺寸。减少这种影响的一种简单方法是限制生长，以便凸壳不会超过初始点集在水平和垂直方向的尺寸。