RANSAC算法

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伪码解释请参考：
http://www.cnblogs.com/xrwang/archive/2011/03/09/ransac-1.html


给定两个点p1与p2的坐标，确定这两点所构成的直线，要求对于输入的任意点p3，都可以判断它是否在该直线上。初中解析几何知识告诉我们，判断一个点在直线上，只需其与直线上任意两点点斜率都相同即可。实际操作当中，往往会先根据已知的两点算出直线的表达式（点斜式、截距式等等），然后通过向量计算即可方便地判断p3是否在该直线上。


生产实践中的数据往往会有一定的偏差。例如我们知道两个变量X与Y之间呈线性关系，Y=aX+b，我们想确定参数a与b的具体值。通过实验，可以得到一组X与Y的测试值。虽然理论上两个未知数的方程只需要两组值即可确认，但由于系统误差的原因，任意取两点算出的a与b的值都不尽相同。我们希望的是，最后计算得出的理论模型与测试值的误差最小。大学的高等数学课程中，详细阐述了最小二乘法的思想。通过计算最小均方差关于参数a、b的偏导数为零时的值。事实上，在很多情况下，最小二乘法都是线性回归的代名词。


遗憾的是，最小二乘法只适合与误差较小的情况。试想一下这种情况，假使需要从一个噪音较大的数据集中提取模型（比方说只有20%的数据时符合模型的）时，最小二乘法就显得力不从心了。例如下图，肉眼可以很轻易地看出一条直线（模式），但算法却找错了。





RANSAC算法的输入是一组观测数据（往往含有较大的噪声或无效点），一个用于解释观测数据的参数化模型以及一些可信的参数。RANSAC通过反复选择数据中的一组随机子集来达成目标。被选取的子集被假设为局内点，并用下述方法进行验证：



  • 有一个模型适应于假设的局内点，即所有的未知参数都能从假设的局内点计算得出。
  • 用1中得到的模型去测试所有的其它数据，如果某个点适用于估计的模型，认为它也是局内点。
  • 如果有足够多的点被归类为假设的局内点，那么估计的模型就足够合理。
  • 然后，用所有假设的局内点去重新估计模型（譬如使用最小二乘法），因为它仅仅被初始的假设局内点估计过。
  • 最后，通过估计局内点与模型的错误率来评估模型。
  • 上述过程被重复执行固定的次数，每次产生的模型要么因为局内点太少而被舍弃，要么因为比现有的模型更好而被选用。



整个过程可参考下图：





关于算法的源代码，Ziv Yaniv曾经写一个不错的C++版本，我在关键处增补了注释：

C代码   收藏代码
  1. #include <math.h>  
  2. #include “LineParamEstimator.h”  
  3.   
  4. LineParamEstimator::LineParamEstimator(double delta) : m_deltaSquared(delta*delta) {}  
  5. /*******************************************************************/  
  6. / 
  7.   Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] 
  8.   通过输入的两点来确定所在直线，采用法线向量的方式来表示，以兼容平行或垂直的情况 
  9.   其中n_x,n_y为归一化后，与原点构成的法线向量，a_x,a_y为直线上任意一点 
  10.  /  
  11. void LineParamEstimator::estimate(std::vector<Point2D > &data,   
  12.                                                                     std::vector<double> &parameters)  
  13. {  
  14.     parameters.clear();  
  15.     if(data.size()<2)  
  16.         return;  
  17.     double nx = data[1]->y - data[0]->y;  
  18.     double ny = data[0]->x - data[1]->x;// 原始直线的斜率为K，则法线的斜率为-1/k  
  19.     double norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);  
  20.       
  21.     parameters.push_back(nx/norm);  
  22.     parameters.push_back(ny/norm);  
  23.     parameters.push_back(data[0]->x);  
  24.     parameters.push_back(data[0]->y);          
  25. }  
  26. /*******************************************************************/  
  27. / 
  28.   Compute the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] 
  29.   使用最小二乘法，从输入点中拟合出确定直线模型的所需参量 
  30.  /  
  31. void LineParamEstimator::leastSquaresEstimate(std::vector<Point2D > &data,   
  32.                                                                                             std::vector<double> &parameters)  
  33. {  
  34.     double meanX, meanY, nx, ny, norm;  
  35.     double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix  
  36.     int i, dataSize = data.size();  
  37.   
  38.     parameters.clear();  
  39.     if(data.size()<2)  
  40.         return;  
  41.   
  42.     meanX = meanY = 0.0;  
  43.     covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;  
  44.     for(i=0; i<dataSize; i++) {  
  45.         meanX +=data[i]->x;  
  46.         meanY +=data[i]->y;  
  47.   
  48.         covMat11    +=data[i]->x  data[i]->x;  
  49.         covMat12    +=data[i]->x  data[i]->y;  
  50.         covMat22    +=data[i]->y  data[i]->y;  
  51.     }  
  52.   
  53.     meanX/=dataSize;  
  54.     meanY/=dataSize;  
  55.   
  56.     covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;  
  57.         covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;  
  58.     covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;  
  59.     covMat21 = covMat12;  
  60.   
  61.     if(covMat11<1e-12) {  
  62.         nx = 1.0;  
  63.             ny = 0.0;  
  64.     }  
  65.     else {      //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix   
  66.                //and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest  
  67.                //eigenvalue, which isn’t computed explicitly.  
  68.         double lamda1 = (covMat11 + covMat22 + sqrt((covMat11-covMat22)(covMat11-covMat22) + 4*covMat12*covMat12)) / 2.0;  
  69.         nx = -covMat12;  
  70.         ny = lamda1 - covMat22;  
  71.         norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);  
  72.         nx/=norm;  
  73.         ny/=norm;  
  74.     }  
  75.     parameters.push_back(nx);  
  76.     parameters.push_back(ny);  
  77.     parameters.push_back(meanX);  
  78.     parameters.push_back(meanY);  
  79. }  
  80. /********************************************************************/  
  81. / 
  82.   Given the line parameters  [n_x,n_y,a_x,a_y] check if 
  83.   [n_x, n_y] dot [data.x-a_x, data.y-a_y] < m_delta 
  84.   通过与已知法线的点乘结果，确定待测点与已知直线的匹配程度；结果越小则越符合，为 
  85.   零则表明点在直线上 
  86.  /  
  87. bool LineParamEstimator::agree(std::vector<double> &parameters, Point2D &data)  
  88. {  
  89.     double signedDistance = parameters[0](data.x-parameters[2]) + parameters[1](data.y-parameters[3]);   
  90.     return ((signedDistance*signedDistance) < m_deltaSquared);  
  91. }  
#include <math.h>

include "LineParamEstimator.h"

LineParamEstimator::LineParamEstimator(double delta) : m_deltaSquared(delta*delta) {}
/*******************************************************************/
/*
* Compute the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y]
* 通过输入的两点来确定所在直线，采用法线向量的方式来表示，以兼容平行或垂直的情况
* 其中n_x,n_y为归一化后，与原点构成的法线向量，a_x,a_y为直线上任意一点
*/
void LineParamEstimator::estimate(std::vector<Point2D *> &data,
std::vector<double> &parameters)
{
parameters.clear();
if(data.size()<2)
return;
double nx = data[1]->y - data[0]->y;
double ny = data[0]->x - data[1]->x;// 原始直线的斜率为K，则法线的斜率为-1/k
double norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);

parameters.push_back(nx/norm);
parameters.push_back(ny/norm);
parameters.push_back(data[0]-&gt;x);
parameters.push_back(data[0]-&gt;y);

}
/*******************************************************************/
/*
* Compute the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y]
* 使用最小二乘法，从输入点中拟合出确定直线模型的所需参量
*/
void LineParamEstimator::leastSquaresEstimate(std::vector<Point2D *> &data,
std::vector<double> &parameters)
{
double meanX, meanY, nx, ny, norm;
double covMat11, covMat12, covMat21, covMat22; // The entries of the symmetric covarinace matrix
int i, dataSize = data.size();

parameters.clear();
if(data.size()&lt;2)
    return;

meanX = meanY = 0.0;
covMat11 = covMat12 = covMat21 = covMat22 = 0;
for(i=0; i&lt;dataSize; i++) {
    meanX +=data[i]-&gt;x;
    meanY +=data[i]-&gt;y;

    covMat11    +=data[i]-&gt;x * data[i]-&gt;x;
    covMat12    +=data[i]-&gt;x * data[i]-&gt;y;
    covMat22    +=data[i]-&gt;y * data[i]-&gt;y;
}

meanX/=dataSize;
meanY/=dataSize;

covMat11 -= dataSize*meanX*meanX;
    covMat12 -= dataSize*meanX*meanY;
covMat22 -= dataSize*meanY*meanY;
covMat21 = covMat12;

if(covMat11&lt;1e-12) {
    nx = 1.0;
        ny = 0.0;
}
else {      //lamda1 is the largest eigen-value of the covariance matrix 
           //and is used to compute the eigne-vector corresponding to the smallest
           //eigenvalue, which isn't computed explicitly.
    double lamda1 = (covMat11 + covMat22 + sqrt((covMat11-covMat22)*(covMat11-covMat22) + 4*covMat12*covMat12)) / 2.0;
    nx = -covMat12;
    ny = lamda1 - covMat22;
    norm = sqrt(nx*nx + ny*ny);
    nx/=norm;
    ny/=norm;
}
parameters.push_back(nx);
parameters.push_back(ny);
parameters.push_back(meanX);
parameters.push_back(meanY);

}
/*******************************************************************/
/*
* Given the line parameters [n_x,n_y,a_x,a_y] check if
* [n_x, n_y] dot [data.x-a_x, data.y-a_y] < m_delta
* 通过与已知法线的点乘结果，确定待测点与已知直线的匹配程度；结果越小则越符合，为
* 零则表明点在直线上
*/
bool LineParamEstimator::agree(std::vector<double> &parameters, Point2D &data)
{
double signedDistance = parameters[0](data.x-parameters[2]) + parameters[1](data.y-parameters[3]);
return ((signedDistance*signedDistance) < m_deltaSquared);
}


RANSAC寻找匹配的代码如下：

C代码   收藏代码
  1. /*******************************************************************/  
  2. template<class T, class S>  
  3. double Ransac<T,S>::compute(std::vector<S> &parameters,   
  4.                                                       ParameterEsitmator<T,S> paramEstimator ,   
  5.                                                     std::vector<T> &data,   
  6.                                                     int numForEstimate)  
  7. {  
  8.     std::vector<T > leastSquaresEstimateData;  
  9.     int numDataObjects = data.size();  
  10.     int numVotesForBest = -1;  
  11.     int arr = new int[numForEstimate];// numForEstimate表示拟合模型所需要的最少点数，对本例的直线来说，该值为2  
  12.     short *curVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zero  
  13.     short *bestVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero  
  14.       
  15.   
  16.               //there are less data objects than the minimum required for an exact fit  
  17.     if(numDataObjects < numForEstimate)   
  18.         return 0;  
  19.         // 计算所有可能的直线，寻找其中误差最小的解。对于100点的直线拟合来说，大约需要100*99*0.5=4950次运算，复杂度无疑是庞大的。一般采用随机选取子集的方式。  
  20.     computeAllChoices(paramEstimator,data,numForEstimate,  
  21.                                         bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size(), numForEstimate, 0, arr);  
  22.   
  23.        //compute the least squares estimate using the largest sub set  
  24.     for(int j=0; j<numDataObjects; j++) {  
  25.         if(bestVotes[j])  
  26.             leastSquaresEstimateData.push_back(&(data[j]));  
  27.     }  
  28.         // 对局内点再次用最小二乘法拟合出模型  
  29.     paramEstimator->leastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData,parameters);  
  30.   
  31.     delete [] arr;  
  32.     delete [] bestVotes;  
  33.     delete [] curVotes;   
  34.   
  35.     return (double)leastSquaresEstimateData.size()/(double)numDataObjects;  
  36. }  
/********************************************************************/ 

template<class T, class S> 

double Ransac<T,S>::compute(std::vector<S> &parameters,  

                                                      ParameterEsitmator<T,S> *paramEstimator ,  

                                                    std::vector<T> &data,  

                                                    int numForEstimate) 

{ 

    std::vector<T *> leastSquaresEstimateData; 

    int numDataObjects = data.size(); 

    int numVotesForBest = -1; 

    int *arr = new int[numForEstimate];// numForEstimate表示拟合模型所需要的最少点数，对本例的直线来说，该值为2 

    short *curVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the current model, otherwise zero 

    short *bestVotes = new short[numDataObjects];  //one if data[i] agrees with the best model, otherwise zero

          //there are less data objects than the minimum required for an exact fit
if(numDataObjects &lt; numForEstimate) 
    return 0;
    // 计算所有可能的直线，寻找其中误差最小的解。对于100点的直线拟合来说，大约需要100*99*0.5=4950次运算，复杂度无疑是庞大的。一般采用随机选取子集的方式。
computeAllChoices(paramEstimator,data,numForEstimate,
                                    bestVotes, curVotes, numVotesForBest, 0, data.size(), numForEstimate, 0, arr);

   //compute the least squares estimate using the largest sub set
for(int j=0; j&lt;numDataObjects; j++) {
    if(bestVotes[j])
        leastSquaresEstimateData.push_back(&amp;(data[j]));
}
    // 对局内点再次用最小二乘法拟合出模型
paramEstimator-&gt;leastSquaresEstimate(leastSquaresEstimateData,parameters);

delete [] arr;
delete [] bestVotes;
delete [] curVotes; 

return (double)leastSquaresEstimateData.size()/(double)numDataObjects;

}


在模型确定以及最大迭代次数允许的情况下，RANSAC总是能找到最优解。经过我的实验，对于包含80%误差的数据集，RANSAC的效果远优于直接的最小二乘法。


RANSAC可以用于哪些场景呢？最著名的莫过于图片的拼接技术。优于镜头的限制，往往需要多张照片才能拍下那种巨幅的风景。在多幅图像合成时，事先会在待合成的图片中提取一些关键的特征点。计算机视觉的研究表明，不同视角下物体往往可以通过一个透视矩（3X3或2X2）阵的变换而得到。RANSAC被用于拟合这个模型的参数（矩阵各行列的值），由此便可识别出不同照片中的同一物体。可参考下图：











另外，RANSAC还可以用于图像搜索时的纠错与物体识别定位。下图中，有几条直线是SIFT匹配算法的误判，RANSAC有效地将其识别，并将正确的模型（书本）用线框标注出来：






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