51nod 1244 莫比乌斯函数之和 【杜教筛】

51nod 1244 莫比乌斯函数之和

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莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出。梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)（miu(n)）作为莫比乌斯函数的记号。具体定义如下：
如果一个数包含平方因子，那么miu(n) = 0。例如：miu(4), miu(12), miu(18) = 0。
如果一个数不包含平方因子，并且有k个不同的质因子，那么miu(n) = (-1)^k。例如：miu(2), miu(3), miu(30) = -1,miu(1), miu(6), miu(10) = 1。
给出一个区间[a,b]，S(a,b) = miu(a) + miu(a + 1) + … miu(b)。
例如：S(3, 10) = miu(3) + miu(4) + miu(5) + miu(6) + miu(7) + miu(8) + miu(9) + miu(10)
= -1 + 0 + -1 + 1 + -1 + 0 + 0 + 1 = -1。

Input

输入包括两个数a, b，中间用空格分隔(2 <= a <= b <= 10^10)

Output

输出S(a, b)。

Input示例

3 10

Output示例

-1

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杜教筛板子，佬下午讲了我就写一写

考虑$令h=\mu \ast I$
显然$h={\sum }_{d|n}\mu (d)\ast I(\frac{n}{d})=[n=1]$

现在求一下h的前缀和$su{m}_h(n)={\sum }_{i=1}^{n}h(i)=1$

那么同时我们考虑$su{m}_h(n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{d|n}\mu (d)\ast I(\frac{n}{d})$

$su{m}_h(n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{d|n}\mu (d)$

$su{m}_h(n)={\sum }_{d=1}^n{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\mu (d)$

$su{m}_h(n)={\sum }_{d=1}^n{\sum }_{i=1}^n[i\le \lfloor \frac{n}{d}\rfloor ]\mu (d)$

$su{m}_h(n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{d=1}^n[d\le \lfloor \frac{n}{i}\rfloor ]\mu (d)$

$su{m}_h(n)={\sum }_{i=1}^n{\sum }_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\mu (d)$

$su{m}_h(n)={\sum }_{d=1}^n\mu (d)+{\sum }_{i=2}^n{\sum }_{d=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\mu (d)$

令$p(n)={\sum }_{d=1}^p\mu (d)$

可以得到$su{m}_h(n)=1=p(n)+{\sum }_{i=2}^{n}p(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$

然后就可以得到最后的式子$p(n)=1-{\sum }_{i=2}^{n}p(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$

至于杜教筛的复杂度我就不说了

然后这题需要预处理一部分的前缀和来优化，然后就可以了

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然后因为我很懒，就不想写hash table，然后就map代替了
问题不大

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 5000010
#define LL long long
map<LL,LL> mp;
LL mu[N],pri[N],vis[N],tot=0;
void init(){
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&pri[j]*i<N;j++){
			vis[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)mu[i*pri[j]]=0;
			else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=2;i<N;i++)mu[i]+=mu[i-1];
}
LL Mertens(LL n){
	if(n<N)return mu[n];
	if(mp[n])return mp[n];
	LL ans=1,j=0;
	for(LL i=2;i<=n;i=j+1){
		j=n/(n/i);
		ans-=(j-i+1)*Mertens(n/i);
	}
	return mp[n]=ans;
}
int main(){
	init();
	LL l,r;scanf("%lld%lld",&l,&r);
	printf("%lld",Mertens(r)-Mertens(l-1));
	return 0;
}