数据结构（五）——树和二叉树

树的有关概念

树的定义

• 树形结构是一种重要的非线性结构
• 任一棵非空树中：（1）有且仅有一个称为根的结点。（2）其余结点可分为m个互不相交的集合。

树的概念

• 数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。
• 数据关系R：1.若D为空集，则称为空树。2.在D中存在唯一的称为根的数据元素root。3.当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1,T2,„,Tm，其中每一棵子树本身又是一棵符合本定义的树，称为根root的子树。

二叉树

二叉树的概念

• 特点：1.二叉树中每个结点最多有两棵子树；即二叉树每个结 点度小于等于2; 2.左、右子树不能颠倒——有序树; 3.二叉树是递归结构，在二叉树的定义中又用到了二叉 树的概念;
• 基本形态：空树–仅有根–右子树空–左子树空–左、右子树均在。

二叉树的性质
性质1 在二叉树的第i(i≥1)层上至多有2i-1个结点。
性质2 深度为k的二叉树最多有2k-1个结点。
性质3 具有n个结点的完全二叉树的深度为【log2n 】 +1 。
性质4 对任意二叉树T，如果度数为0结点数为n0,度数为1结点数为n1,度数为2结点数为n2，则n0=n2+1。
性质5 若对含n个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行1至n的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点
(1)若i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲，否则， 编号为  i/2  的结点为其双亲结点；
(2)若2i>n，则该结点无左孩子，否则，编号为2i的结点为其左孩子结点；
(3)若2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1的结点为其右孩子结点。
性质6：n 个结点的二叉树中，共有 n+1 个空指针域。

两种特殊的二叉树

• 满二叉树：如果深度为k的二叉树，有2k-1个结点则称为满二叉树；
• 完全二叉树：二叉树中所含的n个结点和满二叉树中编号为1至n的结点一一对应。
• 结论：满二叉树一定是完全二叉树，反之不一定 。

二叉树的存储结构

• 二叉树的顺序存储表示 ：用数组进行表示。
• 二叉树的链式存储表示：数据域、左指针域、右指针域。
• 二叉树的链式存储表示—三叉链表：数据域、左指针域、右指针域、双亲指针域。

二叉树的遍历

三条搜索路径

• 先上后下，按层次遍历，引入了队列做辅助工具（BFS）
• 先左（子树）后右（子树）的遍历
• 先右（子树）后左（子树）的遍历

三种遍历方法

• 先序遍历（TLR）
• 中序遍历（LTR）
• 后续遍历（LRT）
  辅助记忆：三个方法都是先遍历左子树，后遍历右子树，其中，先，中，后表示了R在三个遍历顺序中的哪个位置。

树和森林

树的存储结构

• 双亲表示法
• 孩子链表表示法
• 双亲孩子表示法
• 树的二叉链表——树和二叉树的转换。

树、森林与二叉树的转换

• 树转换为二叉树的方法 ：（1）在所有兄弟结点之间加一条连线； （2）对每个结点，除了保留与其长子的连线外，去掉该结点与其它孩子的连线。
• 森林转换为二叉树的方法：（1）将森林中的每一树转换二叉树； （2）将各二叉树的根结点视为兄弟连在一起。
• 二叉树到树、森林的转换：（1）如果结点X是其双亲Y的左孩子，则把x的右孩子，右孩子的右孩子，…， 都与Y用连线连起来； （2）去掉所有双亲到右孩子的连线。

树的应用和代码会在我的其他博客中涉及到