【简单数论】（模运算，快速幂，乘法逆元，同余，exgcd，gcd，欧拉函数，质数，欧拉筛，埃式筛，调和级数枚举，约数，组合数）

数论

模运算

• $amodb=a-\lfloor a/b\rfloor \times b$

• $nmodp$得到的结果的正负至于被除数$n$有关

模运算的性质：

$(a+b)modm=((amodm)+(bmodm))modm$

$(a-b)modm=((amodm)-(bmodm))modm$ = $((amodm)-(bmodm)+m)modm$

$(a\times b)modm=((amodm)\times (bmodm))modm$

但是除法例外，除法的取模需要用到逆元。

计算减法的时候，通常需要加上模数，防止出现负数。

快速幂

快速求解$a^{b}modp$，可以采用二进制拼凑的思想

对于$b$，它可以看成一个二进制数，可以写成$2$的幂相加的形式，那么$a^b$可以写成$a^{(2^i+2^j+...+2^k)}=a^{2^i}\times a^{2^j}\times ...\times a^{2^k}(i,j,k\in S,其中集合S为b转换成二进制后位置上是1的位置)$

我们只需计算的同时预处理每一项$a^{2^i}$即可

using ll = long long;
ll qmi(ll a, ll b, ll c){
   
   
    ll res = 1;
    while(b){
   
   
        if(b & 1 == 1) res = res * a % c;
        a = a * a % c;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

乘法逆元

若$a\times x\equiv 1(modb)$，且$a$与$b$互质，我们定义$x$为$a$的逆元，记为$a^{-1}$,$x$可称为$a$在模$b$意义下的倒数

对于$\frac{a}{b}modp$，我们可以求出$b$在$modp$意义下的逆元，然后乘上$a$，再$modp$即可

注意对于数$a$在模$p$意义下的乘法逆元，我们需要确保$a$与$p$互质，此时才有$a$的乘法逆元$a^{-1}$，此条件等价于$p$是质数

费马小定理

$a^{p-1}\equiv 1(modp)$，其中$p$是素数

费马小定理求逆元
$a\times a^{p-2}\equiv 1(modp)$，根据乘法逆元的定义可知，此时$a$的逆元是$a^{p-2}$

ll inv(ll a, ll p){
   
   
    return qmi(a, p - 2, p);
}

扩展欧几里得求逆元

根据逆元的定义$ax\equiv 1(modp)$，我们得到方程：$ax-1=yp$（$ax-1$ 是$p$的倍数），则$ax+py=1$

解方程得$xmodp$得到的就是$a$的乘法逆元，同时逆元存在的条件是$gcd(a,p)=1$

求阶乘的乘法逆元

同余

两个整数$a$和$b$对用一个正整数$m$取模后余数相同，则称$a$和$b$对模$m$同余，记作$a\equiv b(modm)$，这意味着$m|(a-b)$

同余的性质：

• 自反性：$a\equiv a(modm)$
• 对称性：若$a\equiv b(modm)$，则$b\equiv a(modm)$
• 传递性：若$a\equiv b(modm),b\equiv c(modm)$，则$a\equiv c(modm)$
• 同加性：若$a\equiv b(modm)$，则$a\pm c\equiv b\pm c(modm)$
• 同乘性：若$a\equiv b(modm)$，则$a\times c\equiv b\times c(modm)$，若$a\equiv b(modm),c\equiv d(modm)$，则$a\times c\equiv b\times d(modm)$
• 同幂性：若$a\equiv b(modm)$，则$a^c\equiv b^c(modm)$
• 不满足同除性，但是有，若$ca\equiv cb(modm)$，则$a\equiv b(mod\frac{m}{gcd(m,c)})$

扩展欧几里得定理

对于给定的两个整数$a$，$b$，必须存在整数$x$与$y$，使得$a\times x+b\times y=gcd(a,b)$

裴蜀定理

方程$a\times x+b\times y=c$有整数解的充分必要条件是$c$是$gcd(a,b)$的倍数

证明：

• 必要性：令$p=gcd(a,b)$，则有$a=p\times a^{\prime }$，$b=p\times b^{\prime }$；则$c=p\times (a^{\prime }x+b^{\prime }y)$，即$gcd(a,b)$的倍数。

• 充分性：考虑$gcd$的欧几里得算法。$a,b$通过$b,a\%b$的方式一直辗转下去，最后会出现$p,0$的形式。原因是$0\le a\%b\le b-1$。对于递归出口$p,0$，方程$a\times p+0\times y=c$是否存在解呢？显然有解，由于充分性，这里$a$取$\frac{c}{p}$即可。那么辗转相除过程中，下面的成立能否推得上面的成立呢？

  • 对于方程$b{x}_1+a\%b\times y_1=c=ax+by$

  • 左边 = b x 1 + ( a − ⌊ a b ⌋ × b ) × y 1 = a y 1 + b x 1 − ⌊ a b ⌋ × b y 1 = a y 1 + b × ( x 1 − ⌊ a b ⌋ × y 1 ) = 右边 = a x + b y 左边 = bx_1 + (a - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times b) \times y_1 = ay_1 + bx_1 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times by_1 = ay_1 + b \times (x_1 - \lfloor \frac{a}{b} \rfloor \times y_1) = 右边 = ax + by 左边=bx1​+(a−⌊ba​⌋×b)×y1​=ay1​+bx1​−⌊ba​⌋×by