从状态空间方程到Hankel矩阵（直接传递矩阵D=0）

离散形式状态空间方程

$$\{\begin{array}{ccc}x((k+1)T)& =& Ax(kT)+Bu(kT)\\ y(kt)& =& Cx(kT)\end{array}$$
对其进行z变换¹，则

$$\{\begin{array}{ccc}zX(z)-X(0)& =& AX(z)+BU(z)\\ Y(z)& =& CX(z)\end{array}$$
假设X(0)=0，则
$$\{\begin{array}{ccc}zX(z)& =& AX(z)+BU(z)\\ Y(z)& =& CX(z)\end{array}$$
从而，
$$Y(z)=C(zI-A{)}^{-1}\cdot BU(z)$$
传递函数可以表示为如下形式：
$$P(z^{-1})=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& 0\end{array}\right]=C(zI-A{)}^{-1}B$$

因为:
( I − A z ) ∑ i = 0 ∞ ( A z ) i = ∑ i = 0 ∞ ( A z ) i − ∑ i = 0 ∞ ( A z ) i + 1 = ( A z ) 0 + ∑ i = 1 ∞ ( A z ) i − ∑ i = 0 ∞ ( A z ) i + 1 = I + ∑ i = 0 ∞ ( A z ) i + 1 − ∑ i = 0 ∞ ( A z ) i + 1 = I {\large \begin{matrix} (I-\frac{A}{z} )\sum_{ i=0}^{\infty}(\frac{A}{z} )^i & = & \sum_{ i=0}^{\infty}(\frac{A}{z} )^i-\sum_{ i=0}^{\infty}(\frac{A}{z} )^{i+1} \\ & =&(\frac{A}{z} )^0+\sum_{ i=1}^{\infty}(\frac{A}{z} )^{i}-\sum_{ i=0}^{\infty}(\frac{A}{z} )^{i+1}\\&=&I+\sum_{ i=0}^{\infty}(\frac{A}{z} )^{i+1}-\sum_{ i=0}^{\infty}(\frac{A}{z} )^{i+1}\\&=&I\end{matrix}} (I−zA​)∑i=0∞​(zA​)