【题解】UVa 1218 Perfect Service

最新推荐文章于 2020-01-19 17:00:03 发布

Nekroz_

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分类专栏： UVa 树形DP DP 文章标签： c++ DP 树形DP

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本文介绍了一种使用树形动态规划解决的问题，即如何在由若干机器组成的树状网络中部署最少数量的服务器，确保每台非服务器机器直接连接到一台服务器。通过定义不同状态，文章详细阐述了状态转移方程及其优化方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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题目大意：有n(n ≤ 10000)台机器组成树形结构，要求在其中的一些机器上安装服务器，使得每台不是服务器的计算机恰好和一台服务器计算器相连。求服务器最少的数量。
典型树形DP。
根据节点的情况进行分类。
$d(u, 0)$ : $u$ 是服务器，子节点是或不是服务器均可。
$d(u, 1)$ : $u$ 不是服务器，但 $u$ 的父亲是服务器，这意味着 $u$ 的所有儿子都不是服务器。
$d(u, 2)$ : $u$ 不是服务器，而且 $u$ 的父亲也不是服务器。这意味着 $u$ 的所有儿子结点中有且仅有一个儿子是服务器。
有了刚才的解释，状态转移方程写出来也不算复杂：
$d(u, 0) = \sum min(d(v, 0), d(v, 1)) + 1$
$d(u, 1) = \sum d(v, 2)$
$d(u, 2) = d(v, 0) + \sum d(v’, 2)$
枚举 $v$ ， $v’$ 表示除了 $v$ 以外的 $u$ 的子节点
由此看来，三种运算所需要的时间并不相同， $d(u, 2)$ 需要花 $O(k^2)$ 的时间进行计算，时间复杂度过高，仔细观察状态其实我们可以利用已经被计算过的 $d(u, 1)$ 优化我们的状态转移方程。
$d(u, 1)$ 只需在所有 $d(u, 1) – d(v, 2) + d(v, 0)$ 中取个 $min$ 即可。
这样子，三种状态都能在 $O(k)$ 的时间内被计算，总的时间复杂度为 $O(n)$ 。

$Code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define MAXN 10010
std::vector< int > G[MAXN];
int d[MAXN][3];
void solve(int u, int p) {
    for (unsigned int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if (v == p) continue;
        solve(v, u);
        d[u][0] += std::min(d[v][0], d[v][1]);
        d[u][1] += d[v][2];
    }
    for (unsigned int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        int v = G[u][i];
        if (v == p) continue;
        d[u][2] = std::min(d[u][2], d[u][1] - d[v][2] + d[v][0]);
    }
}
int main() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    while (true) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            G[i].clear();
            d[i][0] = 1; 
            d[i][1] = 0;
            d[i][2] = MAXN;
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int u, v;
            scanf("%d%d", &u, &v);
            G[u].push_back(v);
            G[v].push_back(u);
        }
        solve(1, -1);
        printf("%d\n", std::min(d[1][0], d[1][2]));
        scanf("%d", &n);
        if (n == -1) break;
        scanf("%d", &n);
    }
    return 0;
}