Codeforces Round #716 (Div. 2) CD题解证明

4.19CF题解；
关于CD的证明：

C：

本题求的是一个1到n-1的序列，请找出一个最长的满足要求的子序列，求任意方案：要求为：子序列元素乘积mod n为1；

赛时觉得结论为：子序列元素如果尽量都和n互素那么会是最好的取法吧，依照这个引理的话我们就很容易可以联想到所有和n互素的数都丢出来：
n = 9,那么最大互素集合就是1 2 4 5 7 8 这6个数；

又双叒叕可以联想到互素集合子集乘积一定是与n互素的。
那么依照上述引理可以简单分为两类：

1 答案为$\varphi (n)$
2 答案为$\varphi (n)-1$

如果是情况2，那么显然得到的最大与n互素集合乘积去掉就好。如12457*8 = 8 (mod 9
那么把8去掉剩下就是1了；显然1 2 4 5 7 就是答案。
如果答案为第一种那么也会有两种情况，一种是乘积已经是1，比如n = 2；另一种是乘积不为1，此时与引理相悖；

那就证明一下这个引理：（终于到了重头戏了）

设Ci表示答案序列的第i个元素
设$\sum Ci=1+kn$----------1
设$(1+kn,n)=g$-------------2
因为n%g = kn%g = 0;所以(1+kn)%g = 1;
如果g不为1，则式子无意义，故$(1+kn,n)=1$即二者一定互素；
有1式得Ci一定与n互素。
至此得证；
故可以放心使用前面引理推导出来极大集合。
同时乘积%n得到的数也会与n互素也易证得；
__C只需要证明出来剩下无难度，不放代码饿了；

D：结论+数据结构

问的是划分子序列让区间内所有子序列均满足cnt[max] <= (len+1)/2;
本结论非常易得，只需要考虑其中出现最多次数的数为X次，Y = len -x;
如果X<=Y+1那么答案为1，
否则需要思考，划分出来的子序列如何做到不浪费，当然是xi = yi+1拉，这样一个yi就能干掉比自己多一的数量的xi

如果拉伸到了极致，就是每一个子序列都长这样：
max max other
如此xi = 2,yi = 1的情况便是拉伸的极致。哦哦懂了每一个Y中的元素都能抵消两倍于自己的数；

结论$ans(l,r)=max(1,cnt[max]-Y)$;

问题转化成了如何求区间内出现最大次数的数出现了多少次；
此题可以用很多方法做，可以莫队水过去，可以整体二分+树状数组；

__D