acm常识入门（给即将进队或者刚刚进队的新生）（仍在更新）

模意义（同余）

同余为数论中的重要概念：
一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余。
记作: $a\equiv b(modm)$或者说 $a\%m=b$ 。
其中 %就是取模运算符；
对模m同余是整数的一个等价关系。

同余有很多奇妙的性质和玩法（）
首先我们约定：大写字母如$A\equiv a(modp)$
乘法：

若：AB = C ， 则ab %p= c%p
乘法在模意义下同余仍成立；
$A=k1\ast p+a;$
$B=k2\ast p+b;$
$C=k1\ast k2\ast p\ast p+(a\ast k2+b\ast k1)\ast p+a\ast b$

加减法同理，手推即可发现仍然不影响同余
除法

在除法中要引进一个定理：
费马小定理：结论为：$a^{P-1}\equiv 1(modP)$
即a的p-1次方对模P意义下与1同余；
那么显然$a^{P-2}$就可以看成模意义下的1/a;因为$a\ast a^{-1}=1$;
至此，引入一个方便计算a^b的算法，叫做快速幂，是一个简单实用的$lo{g}_2\ast b$ 次乘法时间内就能求出来a^b的算法
这是快速幂的解释代码：https://paste.ubuntu.com/p/zJTMWytKFb/

那现在我们要计算b/a在模P意义下等于何数值，显然需要求$b\ast a^{P-2}\%P$
就能把除法成功变成乘法

这里只说明同余意义下的加减乘除。还有开根号等各种运算都能在模意义下找到解释；

累加累乘，表达式的化简

$\sum$这是累加符号
$\prod$这是累乘符号
$[]$这个在式子中出现表示的含义是方括号内容为真，这[**] = 1,否者为假，可以认为是一个真值判别符号；
$|$这个是整除符号，a|b说明b/a的结果是整数;例如：2|8 , 3|9
$A_n=2n+3;$
那么数列A的前n项和$S_n$ = ${\sum }_{i=1}^{n}i\ast 2+1$
那么n的阶乘$n!={\prod }_{i=1}^{n}i$

面对一些表达式，我们看起来要枚举两个数各自从1到n，时间复杂度为n方，但是其实式子化简之后就会变得很简单：以下的n都是1e5:

1

${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^n{\sum }_{k=1}^{n}i\ast j\ast k$
这个式子乍一看是枚举三个元素，求元素之积，只需要固定ij，思考k的变化：显然是ij+ij2+ij3，这是一个等差数列，于是我们快快乐乐地把式子变成：
${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{j=1}^{n}i\ast j\ast \frac{(n+1)\ast n}{2}$
一看固定i，j的变化也是等差数列，最后i也是等差数列，上面的式子继续化成：
$(\frac{(n+1)\ast n}{2}{)}^3$