【板子库(没有解释,萌新绕路)】全局第k小,权值线段树做法+离散化解决带修改问题的离线做法【待验证,不保证代码无误】

离散化与权值线段树
本文介绍了一种利用离散化处理和权值线段树解决动态集合问题的方法,通过离散化减少数据范围,使用权值线段树进行高效的区间更新和查询操作。适用于动态集合的插入、删除及排名查询。

如果要看权值线段树是啥的萌新绕路,为你们节省时间,文章仅对代码进行解释.

main函数内对point数组有序,pos函数是二分查出值对应的离散化后的值(排名)。以此来对所有数都离散化处理,为存起来询问的离线做法。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <climits>
#include <queue>
#include <stack>
#include <map>
#include <set>
#include <bitset>
#include <iomanip>
//
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;//1.06e9大小
const int mod1 = 1e9 +7;
const int mod2 = 998244353;
const int mod3 = 1e9;
const double PI = acos(-1);
const double eps =1e-8;
typedef unsigned long long ull;
typedef long long ll;
typedef unsigned uint;
const int sq5=616991993;
#define ms(x, n) memset(x,n,sizeof(x))
#define debug printf("***debug***\n")
#define pii pair<int ,int>
#define X first
#define Y second
#define pb push_back
#define ls(i) i<<2
#define rs(i) i<<2|1
/*
*/
const int maxn = 5e5+100;
//离散化的点,范围:1-cnt
//cnt变量需自己定义(建议定义为局部变量)
int point[maxn];

struct node
{
	int l, r;
	ll cnt;
}tree[4 * maxn];

//查找x所在的位置
int pos(int x, int cnt)
{
	return lower_bound(point+1,point+1+cnt,x)-point;
}

//建树:i=1,l=1,r=cnt
void build(int i,int l,int r)
{
	tree[i].l=l;
	tree[i].r=r;
	tree[i].cnt=0;
	if(l==r)return;

	int mid=(l+r)/2;
	build(ls(i),l,mid);
	build(rs(i),mid+1,r);
}

//单点修改:加入cnt个x,传参:i=1,p=pos(x,n)
void update(int i, int cnt, int p)
{
	if (tree[i].l == tree[i].r)
	{
		tree[i].cnt+=cnt;
		return;
	}

	int mid = tree[ls(i)].r;
	if(p<=mid)update(ls(i),cnt,p);
	else update(rs(i),cnt,p);

	tree[i].cnt = tree[ls(i)].cnt + tree[rs(i)].cnt;
}

//查询第k小
int kth(int i, int k)
{
	if (tree[i].l == tree[i].r) return point[tree[i].l];

	if (k <= tree[ls(i)].cnt) return kth(ls(i), k);
	else return kth(rs(i), k - tree[ls(i)].cnt);
}

//保存询问的数组
int op[maxn],x[maxn];//operate[i]操作指令数字   x[i]是操作待的值

int main()
{
	int q;
	scanf("%d", &q);
	//输入询问
	for (int i=1;i<=q;i++)
		{
		scanf("%d %d",&op[i],&x[i]);
		point[i]=x[i];   //把询问的值保存到point
	}

	//对询问的值进行离散化
	sort(point+1,point+1+q);
	int cnt=unique(point+1,point+1+q)-(point+1);

	//建树
	build(1, 1, cnt);

	//回答询问
	for (int i = 1; i <= q; i++)
		{
		if (op[i] == 1)
		{  //插入x[i]
			update(1, 1, pos(x[i], cnt));
		}
		if (op[i] == 2)
		{  //删除x[i]
			update(1, -1, pos(x[i], cnt));
		}
		if (op[i] == 4)
		{  //查询第x[i]小
			int ans = kth(1, x[i]);
			printf("%d\n", ans);
		}
	}

	return 0;
}
<think>嗯,用户想了解权值线段树主要解决哪些问题。首先,我得回忆一下权值线段树的基本概念。权值线段树和普通线段树有什么同呢?对了,普通线段树处理的是区间上的数据,比如区间求和、最大值之类的,而权值线段树处理的是权值的分布情况,也就是按数值大小来维护信息。 那权值线段树适用的场景是什么呢?比如处理与数值出现次数相关的问题,比如查询第k小或第k大的元素。这应该是它的典型应用之一。然后可能还有统计某个范围内的元素个数,比如有多少数在[L, R]之间,这时候权值线段树可以快速查询。 另外,权值线段树还能处理动态数据的情况,支持插入和删除操作,同时维护当前的统计信息。比如在数据流中实时查询中位数或者众数,这可能也是它的应用场景。 过用户可能还想知道权值线段树和其他数据结构,比如平衡二叉搜索树(如AVL树、红黑树)或者树状数组的区别。权值线段树的优势可能在于可以更高效地进行范围查询,以及处理离线问题,比如离散化后的数值范围较大时,可以通过离散化来优化空间。 但是要注意权值线段树的局限性,比如如果数值范围很大而没有离散化的话,可能会占用过多内存。这时候需要先进行离散化处理,将原始数据映射到紧凑的区间内,这样可以减少线段树的深度和节点数量,提高效率。 另外,权值线段树还可以用于解决一些特殊问题,比如求逆序对的数量。在归并排序之外,权值线段树也是一种可行的解决方案,通过逐个插入元素并查询已插入元素中比当前元素大的数量,累加得到逆序对总数。 还有,动态排名问题,比如在一个断变化的集合中,实时查询某个元素的排名或者某个排名对应的元素,这时候权值线段树能够支持插入、删除和查询操作,效率较高。 可能需要举一些具体的例子来说明,比如求第k小的数,假设数据是动态变化的,每次插入一个数后,可能需要频繁查询第k小,这时候权值线段树的时间复杂度是O(logN),比较高效。而如果使用排序数组的话,插入操作会是O(N),对于频繁插入的情况效率高。 再比如,如果问题涉及到多个维度的查询,可能需要结合其他结构,比如树套树,这时候权值线段树可能作为其中的一部分结构出现。 总结一下,权值线段树主要处理与数值分布相关的问题,特别是需要动态维护和范围统计的情况。常见的应用包括第k大/小的查询、范围计数、逆序对计算、动态排名等。使用的时候需要注意数据范围,必要时进行离散化处理。</think>权值线段树是一种基于数值分布(权值)的线段树变体,主要用于处理**与数值频率、排名、范围统计相关的查询和更问题**。其核心思想是将**数值本身作为索引**,维护数值的分布信息(如出现次数),而非数组的物理区间。以下是其典型应用场景: --- ### **1. 动态查询第 K 小/第 K 大元素** - **问题**:在动态数据流中,实时插入或删除元素,快速找到当前第 K 小或第 K 大的数。 - **实现**:线段树的每个节点记录子区间内数值的总出现次数。通过二分思想,从根节点向下查找,根据左右子树的计数决定向左或向右递归。 --- ### **2. 统计数值在区间内的出现次数** - **问题**:快速查询某个值域范围 `[L, R]` 内有多少元素。 - **示例**:统计数组中值在 `[20, 50]` 的元素数量。 - **优势**:时间复杂度为 `O(logN)`,优于暴力遍历的 `O(N)`。 --- ### **3. 求逆序对数量** - **问题**:在数组中找到所有满足 `i < j` 且 `a[i] > a[j]` 的逆序对。 - **实现**:从右向左遍历数组,用权值线段树动态维护已遍历元素的出现次数。对于当前元素 `a[i]`,查询已插入元素中 `< a[i]` 的数量,累加到结果中。 --- ### **4. 动态排名查询** - **问题**:实时查询某个数值的排名(比它小的元素个数 +1),或根据排名反查对应的数值。 - **应用场景**:在线竞赛中的动态数据排名系统。 --- ### **5. 处理离散化后的数据** - **适用情况**:当数值范围极大(如 `1e9`)但数据量较小(如 `1e5`)时,需先离散化映射到紧凑区间,再使用权值线段树优化空间。 --- ### **对比其他数据结构** - **平衡树(如 Treap、AVL)**: 二者均支持动态插入、删除和排名查询,但权值线段树更易实现范围统计(如 `[L, R]` 内元素数量)。 - **树状数组**: 树状数组也可实现类似功能,但权值线段树的结构更直观,尤其在处理离散化数据时逻辑更清晰。 --- ### **代码示例(动态第 K 小)** ```python class WeightSegmentTree: def __init__(self, nums): self.nums = sorted(list(set(nums))) # 离散化 self.n = len(self.nums) self.tree = [0] * (4 * self.n) # 节点存储区间计数 def update(self, idx, delta, node=0, l=0, r=None): if r is None: r = self.n - 1 if l == r: self.tree[node] += delta return mid = (l + r) // 2 if idx <= mid: self.update(idx, delta, 2*node+1, l, mid) else: self.update(idx, delta, 2*node+2, mid+1, r) self.tree[node] = self.tree[2*node+1] + self.tree[2*node+2] def query_kth(self, k, node=0, l=0, r=None): if r is None: r = self.n - 1 if l == r: return self.nums[l] mid = (l + r) // 2 left_count = self.tree[2*node+1] if k <= left_count: return self.query_kth(k, 2*node+1, l, mid) else: return self.query_kth(k - left_count, 2*node+2, mid+1, r) # 使用示例 data = [3, 1, 4, 1, 5, 9] st = WeightSegmentTree(data) for num in data: idx = st.nums.index(num) # 实际中应用二分查找加速 st.update(idx, 1) print(st.query_kth(3)) # 输出第3小的数:3 ``` --- ### **总结** 权值线段树适合处理**与数值分布相关的动态统计问题**,尤其当需要频繁插入/删除元素并快速获取排名、范围计数时。其核心优势在于将数值映射为索引,利用线段树的高效区间操作特性,结合离散化技巧可扩展至大范围数据。
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