【HDU6621 K-th Closest Distance】主席树+二分答案

最新推荐文章于 2022-09-01 17:57:59 发布

原创最新推荐文章于 2022-09-01 17:57:59 发布 · 271 阅读

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本文介绍使用主席树解决一个复杂的数据结构问题：在给定数列中，对多个询问区间进行距离第k近的元素查找，并将结果按位异或。文章详细解释了算法思路，包括如何利用二分法和主席树查询特定区间的元素数量，以及实现过程中的注意事项。

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传送门~！

真 · 弱鸡解读，大佬退散 /// >。< ///

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特别感谢zzy小公举对着我满是bug的程序改了一晚上，辛苦啦~

题意

给定一个数列，有若干询问，询问 l~r 区间内，距离p第k近的元素与p的距离。每次询问内容都要与上次询问的答案按位异或，初始答案为0。

思路

首先和区间第k大有关，肯定是要用主席树啦~
其次因为问题问的不是区间第k大，而是第k小距离，但距离这个东西是相对于询问中给的p而言的，我们显然不可能每次根据p去修改主席树。
那么有没有什么方法，可以让这个距离反映在原数列上，且与p无关呢？
可以想，距离第k小，假设这个距离为 x，其实也就是相当于在询问的区间里， $[p - x, p + x]$ 范围内的数有k个。（闭区间哦）。
这样的话，我们可以不断地猜测这个x，然后通过查询区间里 $[p - x, p + x]$ 范围内的数的个数来验证我们的答案，也就是二分答案啦。

需要注意的许多细节

~~都是我错过的~~
这次的树根集合 $T [i]$ 表示的是权值！（感觉是会好理解一丢丢。。）
$T [i]$ 表示第0~i小的数，所以求的时候看起来大概就是 $T [p + x] - T [p - x - 1]$ 类似的亚子。

许多主席树的板子在离散化的时候都用了sort+unique函数，但是不知道为什么，这题不可以。（也许是我用得不对，求知情dalao指正）。
这里我用的是直接以 $a [i]$ 的值对 $i d [i]$ （数字在原数列中的位置）排序，在建树的时候再依照原先的下标，从1到n，插入 $i d [i]$ 。可以认为 $i d [i]$ 是离散的之后 $a [i]$ ，因为题目保证了 $a [i]$ 互不相同，在排序之后，原来有序的 id 就会从 a_i 的位置代号变成 a_i 的大小编号（自己在纸上试试就知道啦），所以就代替了原来的一顿操作啦。
因为是距离嘛，虽然保证了 $a [i]$ 互不相同，但是距离相同的数还是会有的。所以要处理好边界。
以我的程序为例。

while(L <= R){
    mid = (L+R)>>1;
    lb = lower_bound(t+1, t+n+1, p-mid)-t;
    ub = upper_bound(t+1, t+n+1, p+mid)-t-1;
    ans = 0;
    query(1,n,T[lb-1],T[ub],l,r);
    if(ans >= k) { 
        x = mid;
		R = mid-1;
    }
    else L = mid+1;
}

求出ans之后，它可能大于等于k，也可能小于k，如果小于k是肯定不行了，但是如果大于等于k。。
打个比方，比如有一群数，他们的距离是1 1 2 2 3，我们要寻找距离第3大。
我们二分答案，假设开始时 l=0，r=3，mid=1，假设ans表示距离小于等于mid的数的个数。这时候求出来 ans=2，小于我们要找的3，所以 l 变成 mid+1。
现在 l=2，r=3，mid=2，这次求出来 ans=4，大于k了，但是我们肉眼观察就可以知道，mid=2 是正确的半径。于是我们应该在 ans>=k 的时候先把半径记录下来，然后继续循环。 r 还是要等于 mid-1 啦。
现在 l=2，r=1，不满足循环条件了，于是退出循环~（这例子不够长，不过大概就是这么个意思。。）

查询函数query里边的变量的含义一定要明确，不要把自己转晕。
比如我的query是这个样子的。

void query(int l,int r,int lr,int rr,int L,int R)

其中，l 和 r 是询问的总区间，初始永远是 1~ n，经过递归变成 L ~ R。萌新（~~说的就是我自己~~ ）注意哦，在这一题里，n在这里代表的是数列的总长度 n ，不是多少种权值的那个n。
L、R是询问的区间，嗯，就是q组询问那个询问，把它定义成全局变量就不用每次都传进去了。
lr 和 rr ，也就是 left_root 和 right_root。因为主席树要用两棵线段树做差，求出权值位于其中间的树的个数，所以我们需要这两棵树的树根。
那么，树根到底怎么找到呢？
我们现在已知的是一个区间 $[p - x, p + x]$ ，我们可以求出区间端点对应的“第几大”，然后就可以啦。
~~感觉自己说的全是废话~~

代码全文

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 100010;
const int M = MAXN * 30;
int n,q,m,tot,ans=0,k;
int t[MAXN];
int T[M], lson[M], rson[M], c[M],id[MAXN];
int build(int l,int r){
    int root=tot++;
    c[root]=0;
    if(l!=r){
        int mid=(l+r)>>1;
        lson[root]=build(l,mid);
        rson[root]=build(mid+1,r);
    }
    return root;
}

int update(int root,int pos,int val){
    int newroot=tot++,tmp=newroot;
    c[newroot]=c[root]+val;
    int l=1,r=n;
    while(l<r){
        int mid=(l+r)>>1;
        if(pos<=mid){
            lson[newroot]=tot++;rson[newroot]=rson[root];
            newroot = lson[newroot];root=lson[root];
            r=mid;
        }
        else {
            rson[newroot]=tot++;lson[newroot]=lson[root];
            newroot=rson[newroot];root=rson[root];
            l=mid+1;
        }
        c[newroot]=c[root]+val;
    }
    return tmp;
}
//返回lk~rk的数的个数 不包含端点
void query(int l,int r,int lr,int rr,int L,int R){
    if(ans >= k) return;
    if(L <= l &&r <= R){
        ans += c[rr]-c[lr];
        return;
    }
    int mid = (l+r)>>1;    
    if(L <= mid) query(l,mid,lson[lr],lson[rr],L,R);
    if(mid < R) query(mid+1,r,rson[lr],rson[rr],L,R);
    return ;
}
bool cmp(int x,int y){
    return t[x]<t[y];
}
int main(){
    int Tc;
    scanf("%d",&Tc); 
    while(Tc --){
        scanf("%d%d",&n,&q);
        tot = 0;
        for(int i = 1;i <= n;i++)
            scanf("%d",&t[i]),id[i]=i;
        sort(id+1,id+1+n,cmp);
        sort(t+1,t+n+1);
        T[0]= build(1,n);
        for(int i=1;i<=n;i++){
            T[i]=update(T[i-1],id[i],1);
        }
        int l,r,p,x=0,tmp,L,R,mid,lb,ub;
        while(q--){
            scanf("%d%d%d%d",&l,&r,&p,&k);
            l ^= x;r ^= x;p ^= x;k ^= x;
            L=0, R=1e6;
            while(L <= R){
                mid = (L+R)>>1;
                lb = lower_bound(t+1, t+n+1, p-mid)-t;
                ub = upper_bound(t+1, t+n+1, p+mid)-t-1;
                ans = 0;
                query(1,n,T[lb-1],T[ub],l,r);
                if(ans >= k) {
                    x = mid;
					R = mid-1;
                }
                else L = mid+1;
            }
            printf("%d\n",x);
        }
    }
    return 0;
}

后记

主席树萌新写这个题真的是瑟瑟发抖啊，算起来也是奋斗了一天半呢，眼睛都被辣哭了，心态也是各种崩。
再次感谢zzy小公举啦！还要de玄学bug，还要忍受我的暴脾气。
不过感觉收获也是很多的。
首先是写什么题目，一定要想好再下手啊！对于每个变量是干嘛的，一定要写清楚！不要乱起名字，也不要想当然。
其次，玄学的、不能驾驭的东西，还是不要乱用啦。能驾驭的话省时省力固然好，但是如果不是很清楚的话，还是宁愿多费点功夫，也不要去碰运气啦。
还是要明白，自己在写什么吧。

三水小姐姐好厉害嘤嘤嘤！！！！！！