Fibonacci数列 递归与DP迭代

1.题目

求解Fibonacci数列的第n项。
0 1 1 2 3 5 8 13 ...

2.数据结构与算法

方案1.分治递归
方案2.记忆(memoization)
方案3.动态规划(dynamic programming)：由自顶而下的递归，转为自底而上的迭代。

3.源代码

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
using namespace std;

//递归
int fib(int n){
	return (n>2) ? fib(n-1)+fib(n-2) : 1;
}

//记忆
int fib2(int n){
	int fibs[999] = {1, 1};
	for(int i=2; i<n; i++){
		fibs[i] = fibs[i-1] + fibs[i-2];
	}
	return fibs[n-1];
}

//DP迭代
int fib3(int n){
	int f = 0, g = 1;
	while(--n){
		g = g + f;
		f = g - f;
	}
	return g;
}

int main()
{
	//测试：fib的第10项. 简易输入不要超过40，如果超过40，递归方式实现的fib(n)计算时间会开始显著延长。
	int n = 10;

	cout<<"递归实现：fib("<<n<<")="<<fib(n)<<endl;
	cout<<"记忆实现：fib("<<n<<")="<<fib(n)<<endl;
	cout<<"DP迭代实现：fib("<<n<<")="<<fib(n)<<endl;

	//防止窗口关闭
	cin.get();
}

4.时间复杂度

（一）.递归实现

$递推方程：T(n)=T(n-1)+T(n-2)$
$T(0)=T(1)=1$

计算：
$令S(n)=[T(n)+1]/2,$
$则S(0)=1=fib(1)，S(1)=1=fib(2)$
$不难得出：S(n)=fib(n+1)$
$所以Ｔ(n)=2\ast fib(n+1)-1=o(fib(n+1))=o({\varphi }^n)=o(2^n)$

递归fibs的时间复杂度为：$o(2^n)$

（二）.记忆实现
时间复杂度为：$o(n)$
空间复杂度为：$o(n)$

（三）.DP迭代实现
显然时间复杂度为：$o(n)$
空间复杂度为：$o(1)$

5.结论

递归方式编写代码虽然清晰、简单。但算法性能往往并不如迭代算法。

究其原因，递归算法往往产生大量重复的递归实例。

如有错误，请您批评指正。
参考书籍：清华大学《数据结构（C++语言版）》（第三版） 邓俊辉