第一节-方程组的几何解释

线性方程组

求解线性方程组是线性代数得基础，假设一个方程得个数是n,未知数得个数也是n.我们举一个n=2得例子。

$$\{\begin{array}{l}2x-y=0\\ -x+2y=3\end{array}$$
当看到这个方程得时候，我们马上就会有一个矩阵得概念。下面是方程组得矩阵表达：
$$\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
设左边两行散列得矩阵是系数矩阵为A,未知数向量为X，等式得右侧为结果向量b,则有
$$AX=b$$

行图像

行图像是我们熟悉的方式，一行显示一个方程，两条直线相交.可以看出上图得交点是（1，2）,即为方程得解

列图像

下面我们来看列图像，简单理解就是把系数矩阵A按列进行分解，按这个思路改造一下方程组得矩阵表达为：
$$x\left[\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right]+y\left[\begin{array}{c}-1\\ 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]$$
我们暂时将x得系数向量称为col1,y得系数向量称为col2,这个矩阵得意义在哪里呢，它得目的是如何以正确数量得col1和col2组合得到b，这种组合称为列向量的线性组合。

上图可以看出当x=1,y=2时等式成立。

矩阵

接下来让我们思考一个问题，考虑上面的方程组，对于所有b的取值，是否都能找到方程的解？答案是肯定的（根据高斯消元法）。因为所有b的取值会铺满整个二维空间，所以这个问题等价于列的线性组合是否能覆盖整个二维空间。

再回到AX=b这个方程，考虑n>2的情况，对于n元n次方程有：

对于所有b的取值，是否都能找到方程的解 《=》列的线性组合是否能覆盖整个n维空间。

我们可以看到决定这个问题的唯一因素就是A这个矩阵。如果答案为YES，则A是一个非奇异矩阵、可逆矩阵。
那么什么时候这个问题不成立呢，考虑这些情况，n=2，当col1=col2时（所有线性组合都在一条直线上），或者n=3，col1+col2 = col3（所有线性组合都在一个平面上），这时b的取值就无法覆盖整个n维空间，方程也无解