第四节-矩阵的LU分解

最新推荐文章于 2024-01-05 20:37:32 发布

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#线性代数 #矩阵

本文详细介绍了矩阵的LU分解，通过实例解析了矩阵消元过程，阐述了为何选择L矩阵而非消元矩阵E，并分析了高斯消元法的时间复杂度，指出总运算量约为O(3/1n^3)。

矩阵的LU分解

矩阵消元

前面章节我们讲解了矩阵 $A$ 可以通过消元矩阵 $E$ 得到 $U$ ,即 $E A = U$ ，本节的目标是以消元公式 $A = L U$ 来审视高斯消元法。
先从简单的 $2 \times 2$ 矩阵开始，消元矩阵 $E_{21} A = U$ 如下公式：
$\left[ \begin{array} {cc} 1&0\\ -4&1\\ \end{array} \right] × \left[ \begin{array} {cc} 2&1\\ 8&7\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {cc} 2&1\\ 0&3\\ \end{array} \right]$

这里我们想得到矩阵 $L$ 使得 $A = L U$ 等式成立：
$\left[ \begin{array} {cc} 2&1\\ 8&7\\ \end{array} \right] × \left[ \begin{array} {cc} ?&?\\ ?&?\\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {cc} 2&1\\ 0&3\\ \end{array} \right]$
可以知道这里所求 $L$ 即为 $E_{21}^{-1}$ （在 $E_{21} A = U$ 两边同乘以 $E_{21}^{-1}$ 即可证明），即为 $[1041]\left[\begin{array}{cc}1&a$