第五节-转置、置换与向量空间

Der_star

于 2021-01-05 16:27:33 发布

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分类专栏：线性代数公开课18.06 文章标签：线性代数矩阵

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本文介绍了线性代数中的关键概念，包括矩阵的转置及其性质，对称矩阵的定义和生成，置换矩阵的作用与特性，并探讨了向量空间的基本规则和子空间的构造。特别地，通过矩阵的列向量可以构建出特定的子空间，如列空间。

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转置矩阵

在线性代数中，矩阵 $A$ 的转置（transpose）是另一个矩阵 $ATA^{\mathrm {T} }$ （也写做 $A^{tr}$ , $t_A$ 或 $A^′$ ）由下列等价动作建立：

把 $A$ 的横行写为 $ATA^{\mathrm {T} }$ 的纵列
把 $A$ 的纵列写为 $ATA^{\mathrm {T} }$ 的横行
形式上说， $m \times n$ 矩阵 $A$ 的转置是 $n \times m$ 矩阵

$AijT=Ajifor1≤i≤n,1≤j≤m{\displaystyle A_{ij}^{\mathrm {T} }=A_{ji}} for {\displaystyle 1\leq i\leq n,}{\displaystyle 1\leq j\leq m}$
例子：
$[123456]T=[135246]{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}}$
下面思考一个问题，转置矩阵的逆矩阵是什么？我们先从 $AA^{-1}=I$ 开始分析，等式两边同时做转置，可得：
$(AA^{-1})^{\mathrm {T}} = I \Rightarrow (A^{-1})^{\mathrm {T}}A^{\mathrm {T}} = I$