12.1 省选训练总结

题目

• 点分治

完成情况	题目	出处
	Tree	POJ 1741
权限题	Race	BZOJ 2599 [IOI2011]
AC	聪聪可可	BZOJ 2152
AC	D Tree	HDU 4812
	Amaz1ng Prime	CDOJ 1562
	采药人的路径	BZOJ 3679
	Attack and Defence	Osipovsky Cup 2014

• Splay

完成情况	题目	出处
AC	普通平衡树	BZOJ 3224 Tyvj 1728
AC	宠物收养所	BZOJ 1208 [HNOI2004]
	Book 书架	BZOJ 1861 [ZJOI2006]
	永无乡	BZOJ 2733 [HNOI2012]
	Army Formations	HDU 6133
AC	文艺平衡树	BZOJ 3223 Tyvj 1729
	Cards Sorting	Codeforces 830B (#424)

点分治：

点分治通常是来解决那些在树上统计路径的问题，比如说统计有多少条长度为K的路径等等。如果用暴力，那么复杂度就是$n^2 \times g（n）$，其中$g（n）$是求$lca$的复杂度。那么哪怕用$tarjan$，这个总的复杂度也是$n^2$的。这时候我们需要用到点分治。那么对于一棵树，我们先找到它的重心，然后再以重心为根，那么这时路径分为了两类，一类过重心，一类不过，我们只统计过重心的，然后不过重心的递归处理。由于我们是一棵子树一棵子树的处理，就可以用一个数据结构来维护答案，这个结构可以是线段树，平衡树，甚至是桶。这步只要做到$nlogn$及以下一般就可以。此时总的复杂度再在此基础上乘上$logn$。

例题：

• Tree（poj 1741）：

很明显是点分治，我们先把到重心的距离排个序，此时就可以二分出来有多少条小于$K$，设有$M$条，此时可得到总的条数是$M^2$（之所以没除二是因为这道题把$A->B$与$B->A$算成了两条路径，如果题上求路径时把$A->B$与$B->A$算成一条路径，就要除二）。但是这样子会多算，会有在一颗子树上的两个点被选，所以此时我们应该减去重复的。也很简单，把子树的条数：算出来，然后减掉就可以了。

• bzoj2599 [IOI2011]Race：（IOI的题哦~~~）

他只让你求一条路径，所以我们大可以用一个$map$，表示当边权和值为$K$时的最少条数是多少，是哪个点，这样子就可以只要遇到一个点，就看存不存在对应的点，然后更新答案。

• bzoj2152 聪聪可可：

大水题，就只用那个桶记一下。将$mod 3$的余数开一个桶，直接查。

• hdu4812 D Tree：

注意这道题是点权。所以处理时不要忘了乘上重心的值。那么这道题我们扫到一个点$N$，其点权为$Q$，那么我们需要查$K\times inv[Q\times重心的值]$是否存在。这里$inv$是指相对于$MOD$的逆元。（此题$MOD$是质数，可以先把逆元筛出来）

• CDOJ1562 Amaz1ng Prime:

我们这道题记一个桶，那么$tong[i]=tong[1]\times tong[i-1] + tong[2] \times tong[i-2] +...+tong[i-1]\times tong[1]$。那么减去重合除以二后就是答案了。这是个卷积，就要用$FFT$。

• bzoj3697 采药人的路径：

首先，如果到这个点的路上有$0$点，并且这个点有匹配，那么就是可行的。所以，基于此，我们这样分类：如果到这点是$0$。那么如果路上没有$0$点，那么就可以其他$0$匹配。如果有，自己到重心还有一条。如果到这点不是零。如果没$0$点，就只能与有零点的匹配，反之，可以与任意匹配。所以就这样。

• Osipovsky Cup 2014 Kovrov, Sunday, December 21, 2014 Problem A.Attack and Defence / FJOI 2016 某道题

设左括号为$1$，右括号为$-1$。一个合法括号序列分成两部分后，左边部分在任意时刻都大于等于$0$，右边在任意时候都小于等于$0$。所以，我们就可以这样判断有多少匹配了。

Splay：

（前几题都是基础，见我另一篇博客：传送门）

• bzoj2733 [HNOI2012]永无乡

这是明显的treap啊
这道题主要是如何合并两颗$splay$，我们可以模仿并查集的按大小合并，每次把小的移到大的上，这样子，做多$logn$次合并，所以总复杂度就是$nlog^2n$。（平衡树本来的复杂度乘$logn$）

• hdu6133 Army Formations

一样的，启发式合并。注意加入一个点产生的贡献是$(大于等于它的元素数量+1) \times 它本身的权值$。所以我们可以把他加入根后把答案加上$(右子树的权值的个数+该结点的cnt) \times 该结点的权值$。然后暴力更新左子树。这样子看似复杂度高，实际上只有$nlogn$。

• 洛谷3372 【模板】线段树 1

类似线段树打标记。只不过我们在$splay$的时候，可以把它到$root$的点暴力拿出来，然后暴力的下放标记。

• Codeforces Round #424 (Div. 1, rated, based on VK Cup Finals) B.Cards Sorting

很简单，用一颗$splay$模拟，每次先将最小的找出来，$splay$到$root$，此时答案就是左子树的$size$，然后把左右子树互换。