点分治与Splay详解-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Demon_Rieman/article/details/78703298

题目

点分治

完成情况	题目	出处
	Tree	POJ 1741
权限题	Race	BZOJ 2599 [IOI2011]
AC	聪聪可可	BZOJ 2152
AC	D Tree	HDU 4812
	Amaz1ng Prime	CDOJ 1562
	采药人的路径	BZOJ 3679
	Attack and Defence	Osipovsky Cup 2014

Splay

完成情况	题目	出处
AC	普通平衡树	BZOJ 3224 Tyvj 1728
AC	宠物收养所	BZOJ 1208 [HNOI2004]
	Book 书架	BZOJ 1861 [ZJOI2006]
	永无乡	BZOJ 2733 [HNOI2012]
	Army Formations	HDU 6133
AC	文艺平衡树	BZOJ 3223 Tyvj 1729
	Cards Sorting	Codeforces 830B (#424)

点分治：

点分治通常是来解决那些在树上统计路径的问题，比如说统计有多少条长度为K的路径等等。如果用暴力，那么复杂度就是 $n^2 \times g（n）$ ，其中 $g（n）$ 是求 $lca$ 的复杂度。那么哪怕用 $tarjan$ ，这个总的复杂度也是 $n^2$ 的。这时候我们需要用到点分治。那么对于一棵树，我们先找到它的重心，然后再以重心为根，那么这时路径分为了两类，一类过重心，一类不过，我们只统计过重心的，然后不过重心的递归处理。由于我们是一棵子树一棵子树的处理，就可以用一个数据结构来维护答案，这个结构可以是线段树，平衡树，甚至是桶。这步只要做到 $nlogn$ 及以下一般就可以。此时总的复杂度再在此基础上乘上 $logn$ 。

例题：

Tree（poj 1741）：

很明显是点分治，我们先把到重心的距离排个序，此时就可以二分出来有多少条小于 $K$ ，设有 $M$ 条，此时可得到总的条数是 $M^2$ （之所以没除二是因为这道题把 $A->B$ 与 $B->A$ 算成了两条路径，如果题上求路径时把 $A->B$ 与 $B->A$ 算成一条路径，就要除二）。但是这样子会多算，会有在一颗子树上的两个点被选，所以此时我们应该减去重复的。也很简单，把子树的条数：算出来，然后减掉就可以了。

bzoj2599 [IOI2011]Race：（IOI的题哦~~~）

他只让你求一条路径，所以我们大可以用一个 $map$ ，表示当边权和值为 $K$ 时的最少条数是多少，是哪个点，这样子就可以只要遇到一个点，就看存不存在对应的点，然后更新答案。

bzoj2152 聪聪可可：

大水题，就只用那个桶记一下。将 $mod 3$ 的余数开一个桶，直接查。

hdu4812 D Tree：

注意这道题是点权。所以处理时不要忘了乘上重心的值。那么这道题我们扫到一个点 $N$ ，其点权为 $Q$ ，那么我们需要查 $K\times inv[Q\times重心的值]$ 是否存在。这里 $inv$ 是指相对于 $MOD$ 的逆元。（此题 $MOD$ 是质数，可以先把逆元筛出来）

CDOJ1562 Amaz1ng Prime:

我们这道题记一个桶，那么 $tong[i]=tong[1]\times tong[i-1] + tong[2] \times tong[i-2] +...+tong[i-1]\times tong[1]$ 。那么减去重合除以二后就是答案了。这是个卷积，就要用 $FFT$ 。

bzoj3697 采药人的路径：

首先，如果到这个点的路上有 $0$ 点，并且这个点有匹配，那么就是可行的。所以，基于此，我们这样分类：如果到这点是 $0$ 。那么如果路上没有 $0$ 点，那么就可以其他 $0$ 匹配。如果有，自己到重心还有一条。如果到这点不是零。如果没 $0$ 点，就只能与有零点的匹配，反之，可以与任意匹配。所以就这样。