分则能成，51nod2386，树结构+思维好题

最新推荐文章于 2021-12-27 10:59:08 发布

原创最新推荐文章于 2021-12-27 10:59:08 发布 · 394 阅读

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本文探讨了一种算法问题，即如何将一个数值n分割成k+1份，以求得这些分割数值两两相乘后的最大总和。通过分析得出，当分割数值尽可能平均分配时，总和达到最大。文章提供了详细的解析过程及C++实现代码。

正题

首先我们需要知道一个结论，只有最后叶子节点的值才会影响答案，而分的方式不会影响。

因为这个题相当于叶子节点的值两两乘求最大值。

仔细分析一下过程就可以发现这个东西（虽然我太菜了分析不出来

然后问题就变成了把一个数n分成k+1份，求两两相乘总和的最大值。

我们设第一份是 $a_1$ 以此类推，那么答案就是 $\frac{\sum_{i=1}^{k+1}a_i*(n-a_i)}{2}$ 。

把他们写出来就会发现答案是 $\frac{n^2-\sum_{i=1}^{k+1}a_i^2}{2}$

我们要令答案最大就要使后面那一堆东西最小。

可以发现当 $a_i=\frac{n}{k+1}$ 的时候，那个东西是最小的。

因为当此时，不管你怎么调整，必定是把一个小数的1移到大数上，而平方在数越大时增长越快，所以必定使答案更大。

然后代码就是判断一下就好了。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;

int n,k;
int t;
long long ans=0;

int main(){
        scanf("%d %d",&n,&k);k++;t=n/k;
	ans+=(long long)(n%k)*(t+1)*(n-t-1);
	ans+=(long long)(k-n%k)*t*(n-t);
	printf("%lld\n",ans/2);
}