[SDOI2014]数表，洛谷P3312，莫比乌斯反演+狄利克雷卷积

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本文探讨了一种使用狄利克雷卷积优化算法的问题解决策略，通过离线处理和树状数组实现高效求解，关键在于快速计算特定数学函数的前缀和。

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正题

题目要求一个这样的东西： $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sigma(gcd(i,j))$ ， $\sigma(i)$ 指的是i的约数和。

暂时不要求这个 $\sigma(gcd(i,j))<=a$

那么我们应该怎么变形。

首先，我们用 f(k) 表示gcd(i,j)=k的有多少对，那么

$f(k)=\sum_{i=1}^{floor(n/k)}\sum_{j=1}^{floor(m/k)}[gcd(i,j)=1]\\=\sum_{d=1}^{floor(n/k)}\mu(d)\frac{n}{kd}\frac{m}{kd}$

答案就变成 $\sum_{k=1}^n f(k)*\sigma(k)$

换进去，就变成 $\sum_{k=1}^n \sum_{d=1}^{floor(n/k)}\mu(d)\frac{n}{kd}\frac{m}{kd}\sigma(k)$

令 T=dk ，枚举T，得到：

$\sum_{T=1}^n\frac{n}{T}\frac{m}{T}\sum_{kd=T}\sigma(k)\mu(d)$

问题的关键，就变成了怎么快速求出后面这个sigma的前缀和，也就是说，我们令 $G(T)=\sum_{kd=T} \sigma(k)\mu(d)$

怎么求G的前缀和？

可以发现 $G=\sigma*\mu$ ，而这个 $\sigma$ 还受a的限制， $\sigma$ 这个函数的某一位如果大于a，那么就为0，否则为原来的值。

这样我们要对于每一组数据的每一组a,去构造一个 $\sigma$ 函数做一遍狄利克雷卷积？？？

那就太慢了

考虑离线，将a排一遍序，然后 $\sigma$ 肯定只增不减，也就是说只会从没有变成有，对于这样的一次操作，我们先处理好每一个数的 $\sigma$ ，然后排一遍序，从小到大加入，然后做一次狄利克雷卷积总时间复杂度就是 $O(n \ln n)$ 的。

最后，G要求前缀和，改点求段直接套个树状数组就可以了！

总共 $O(n\ln n\log n+T\sqrt n\log n)$

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define lowbit(x) (x&(-x))
using namespace std;

int T;
const int maxn=1e5;
int sum[maxn+10];
int mu[maxn+10],p[maxn+10];
bool vis[maxn+10];
int ans[20010];
struct ques{
	int n,m,a,id;
	bool operator<(const ques q)const{
		return a<q.a;
	}
}s[20010];
struct node{
	int x,d;
	bool operator<(const node p)const{
		return d<p.d;
	}
}d[maxn+10];

void add(int x,int t){
	while(x<=maxn){
		sum[x]+=t;
		x+=lowbit(x);
	}
}

int get_sum(int x){
	int tot=0;
	while(x>=1){
		tot+=sum[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return tot;
}

int main(){
	scanf("%d",&T);
	for(int i=1;i<=T;i++) scanf("%d %d %d",&s[i].n,&s[i].m,&s[i].a),s[i].id=i;
	sort(s+1,s+1+T);
	for(int i=1;i<=maxn;i++) {
		d[i].x=i;
		for(int j=i;j<=maxn;j+=i) d[j].d+=i;
	}
	sort(d+1,d+1+maxn);
	mu[1]=1;vis[1]=true;
	int temp;
	for(int i=1;i<=maxn;i++){
		if(!vis[i]) {p[++p[0]]=i;mu[i]=-1;}
		for(int j=1;j<=p[0] && (temp=i*p[j])<=maxn;j++){
			vis[temp]=true;
			if(i%p[j]==0) break;
			mu[temp]=-mu[i];
		}
	}
	int k=1,l,r,an;
	for(int i=1;i<=T;i++){
		while(k<=maxn && d[k].d<=s[i].a){
			for(int j=1;j*d[k].x<=maxn;j++) if(mu[j]!=0) add(j*d[k].x,mu[j]*d[k].d);
			k++;
		}
		l=1,r,an=0;
		if(s[i].n>s[i].m) swap(s[i].n,s[i].m);
		while(l<=s[i].n){
			r=min(s[i].n/(s[i].n/l),s[i].m/(s[i].m/l));
			an+=(s[i].n/l)*(s[i].m/l)*(get_sum(r)-get_sum(l-1));
			l=r+1;
		}
		ans[s[i].id]=(an&2147483647);
	}
	for(int i=1;i<=T;i++) printf("%d\n",ans[i]);
}