[CQOI2012]交换棋子，洛谷P3159，最小费用最大流

最新推荐文章于 2021-12-29 09:17:31 发布

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本文深入探讨了在一个黑白棋盘上，如何通过最小费用最大流算法解决棋子交换问题，旨在找到最优路径，使所有棋子从初始位置交换到目标位置，同时确保总成本最低。文章详细解释了算法的实现步骤，包括节点和边的设定、流量分配策略以及如何处理头尾交换等关键细节。

正题

题目链接

两个很显然的性质：

1.我们只会交换两个颜色不同的棋子。

2.如果路上有棋子，那么这条路肯定没有前面的棋子走优。

那么，就相当于黑棋经过一堆白棋走到一个白棋。

我们来考虑交换问题。

除了一条交换路径的头尾交换一次之外，每个点都要被交换两次。

怎么解决？

解法十分显然，拆三个点 $a,b,c$ ，a向b连边，b向c连边我们规定从起点从b出发，终点在b结束，那么消耗的流量就是所消耗的交换次数。

a,b,c连边的流量怎么设置呢？

很容易想到，两条边各取 $[\frac{c}{2}]$ 。

我们再来考虑头尾的交换。

那些一开始为黑，最后为白的点肯定要把这个点释放出去，那么我们先优先给出边bc流量加1。

那些一开始为白，最后为黑的点肯定要获得一个黑点，那么我们先优先给入边ac流量加1.

剩下的除以2均摊就可以了，因为一个黑点只会经过这里，不会停在这里，除以2带来的价值是最大的。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;

int n,m;
char st[25][25],ed[25][25],p[25][25];
struct edge{
	int x,y,next,c,cos;
}s[50010];
int begin,end,len=1;
int fx[8]={-1,-1,-1,0,0,1,1,1};
int fy[8]={-1,0,1,-1,1,-1,0,1};
int ans=0;
int d[1210],last[1210],mmin[1210],first[1210];
bool tf[1210];
queue<int> f;

void ins(int x,int y,int c,int cos){
	len++;s[len]=(edge){x,y,first[x],c,cos};first[x]=len;
	len++;s[len]=(edge){y,x,first[y],0,-cos};first[y]=len;
}

bool SPFA(int&flow,int&cost){
	mmin[begin]=1e9;
	memset(d,63,sizeof(d));d[begin]=0;
	memset(tf,false,sizeof(tf));tf[begin]=true;
	f.push(begin);
	while(!f.empty()){
		int x=f.front();f.pop();tf[x]=false;
		for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){
			int y=s[i].y;
			if(d[y]>d[x]+s[i].cos && s[i].c>0){
				d[y]=d[x]+s[i].cos;
				last[y]=i;
				mmin[y]=min(mmin[x],s[i].c);
				if(!tf[y]){
					tf[y]=true;
					f.push(y);
				}
			}
		}
	}
	if(d[end]==d[end+1]) return false;
	flow+=mmin[end];
	cost+=mmin[end]*d[end];
	int now=end;
	while(now!=begin){
		s[last[now]].c-=mmin[end];s[last[now]^1].c+=mmin[end];
		now=s[last[now]].x;
	}
	return true;
}

void MCMF(){
	int flow=0,cost=0;
	while(SPFA(flow,cost));
	if(flow==ans) printf("%d\n",cost);
	else printf("-1");
}

int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int data,temp,t,x,y;
	begin=0;end=(data=n*m)*3+1;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",st[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",ed[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",p[i]+1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=m;j++){
			temp=(i-1)*m+j,t=p[i][j]-'0';
			if(st[i][j]==ed[i][j]) ins(temp,temp+data,t/2,0),ins(temp+data,temp+data+data,t/2,0);
			else if(st[i][j]=='0'){
				ins(begin,temp+data,1,0);
				ins(temp,temp+data,t/2,0);ins(temp+data,temp+data+data,(t+1)/2,0);
			}
			else{
				ins(temp+data,end,1,0);ans++;
				ins(temp,temp+data,(t+1)/2,0);ins(temp+data,temp+data+data,t/2,0);
			}
			for(int k=0;k<8;k++){
				x=i+fx[k],y=j+fy[k];
				if(x>=1 && x<=n && y>=1 && y<=m);else continue;
				t=(x-1)*m+y;
				ins(temp+data+data,t,1e9,1);
			}
		}
	MCMF();
}