学习笔记第二十五节：Meet in the Middle

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本文深入探讨了MeetintheMiddle算法，一种用于解决特定类型组合优化问题的高效搜索策略。通过将问题分解并合并解决方案，该算法能够有效处理元素总和受限的集合问题。以CEOI2015Day2世界冰球锦标赛问题为例，详细阐述了算法的应用过程，包括分治、状态记录及排序等关键步骤。

正题

Meet in the Middle，折半搜索。

用来解决一些普通搜索过不了的，但是支持合并的题目。

以这一题为例：[CEOI2015 Day2]世界冰球锦标赛

这题说的是什么呢。

集合满足元素之和小于m，求集合种数。

n才40，让我们来暴力。

发现不行，因为枚举种数为 $2^{40}$ 。

我们先把它拆成两部分?

随便分成两部分， $[1,mid],[mid+1,n]$

两边分别进行搜索，输出答案，很明显是错的。

因为没有计算到答案同时在两边的影响，怎么计算？

我们可以把左边的答案处理出来，也就是说，对于左边可能产生的权值，我们都把他记录下来。

右边也一样。

然后我们再对左边的答案排个序，那么对于右边其中的 $a$ 来说，它可能产生的集合是与左边 $<=m-a$ 的状态相结合。

最后输出答案即可。

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n;
long long m;
long long s[50];
long long a[1050000],b[1050000];

void dfs(int x,int y,long long t,long long *now){
    if(t>m) return ;
    if(x==y+1){
        now[++now[0]]=t;
        return;
    }
    dfs(x+1,y,t+s[x],now);
    dfs(x+1,y,t,now);
}

long long find_last(long long x){
    int l=1,r=a[0];
    int ans=0;
    while(l<=r){
        int mid=(l+r)/2;
        if(a[mid]<=x){
            ans=mid;
            l=mid+1;
        }
        else r=mid-1;
    }
    return ans;
}

int main(){
    scanf("%d %lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&s[i]);
    int mid=(1+n)/2;
    dfs(1,mid,0,a);
    dfs(mid+1,n,0,b);
    sort(a+1,a+1+a[0]);
    long long ans=0;
    for(int i=1;i<=b[0];i++) ans+=find_last(m-b[i]);
    printf("%lld",ans);
}