学习笔记第十三节：拉格朗日插值法

Deep_Kevin

于 2018-09-09 20:56:28 发布

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本文介绍了拉格朗日插值法的基本原理及应用。通过构造特定函数，使得这些函数能经过指定的点，并确保在其它点的x坐标处函数值为0。这种方法可以用来解决多项式插值问题，例如求解i次方之和等问题。

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正题

拉格朗日插值法是用来求解，给出n个点（互不相等），求经过这n个点的函数f(x)。

那么很明显有一个结论，如果我们对每一个点都构造一个函数 $F_i(x)$ ，使它经过 $(x_i,y_i)$ ，并且当x为其他点的x坐标时，y坐标为0。那么 $f(x)=\sum_{i=1}^nF_i(x)$ 。

这个很好理解。

那么怎么满足x坐标为其他点的x坐标时，y坐标为0呢？

很明显，我们只需要满足 $Fi(x)$ 包含 $\prod_{k\neq i} (x-x_k)$ 这个因子就行了。

那么我们怎么让它经过 $(x_i,y_i)$ 呢？

我们先使它x坐标为 $x_i$ 时，f(x)为1.

那么很明显， $Fi(x)=\prod_{k\neq i} \frac{x-x_k}{x_i-x_k}$ ，当x是xi的时候，函数值为1.

乘上一个yi就行了，也就是说 $Fi(x)=y_i\prod_{k\neq i} \frac{x-x_k}{x_i-x_k}$ 。

那么答案就是 $f(x)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{k\neq i} \frac{x-x_k}{x_i-x_k}$ 。

应用就很广泛了，比如说求i次方之和之类的。

如果要求每一项的系数，我们考虑先把上面的那个多项式乘起来，复杂度是 $n^2$ 的，下面那个东西每次O(n)算，然后再用那个乘好的多项式每次除以一个1次多项式就可以得出当前的答案，总时间复杂度就是 $O(n^2)$

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