苏州国决前集训Day8 模拟测试T1

最新推荐文章于 2021-07-19 15:57:36 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-19 15:57:36 发布 · 336 阅读

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这篇博客讨论了一道图论题目，涉及图的点子集定义为'好的'条件及其计数方法。作者介绍了两种解决方案，一种是暴力枚举子集，另一种是利用染色技巧和组合数学进行优化。题目对子集的联通性有特定要求，并给出了时间复杂度分析。在实际比赛中，作者因忽视特殊情况导致失分，提醒读者注意细节。

在一个 $n$ 个点 $m$ 条边的图上，点的标号是 $1, 2, \dots, n$ ，第 $i$ 条边连接的是 $a_i$ 和 $b_i$ 。

一个点的子集被称为好的，当且仅当子集中的任意两点都能仅通过子集中的点联通。

我们现在想要知道有多少个好的子集，对 $2$ 取模。

$1≤n≤50,0≤m≤n(n−1)2,1≤ai,bI≤n,0<∣ai−bi∣≤131\leq n\leq 50,0\leq m\leq \frac{n(n-1)}{2},1\leq a_i,b_I\leq n,0<|a_i-b_i|\leq 13$

暴力直接考虑枚举子集判断联通合法性时间复杂度 $O(2^nm\log n)$

也可以考虑暴力维护前 $13$ 个点的联通状态，具体可以使用一个 $14^{14}$ 的大数来转移，时间复杂度玄学，可以通过此题，而且比标算快很多。但因为赛时忘记处理 $m = 0$ 的情况导致失去 $70pts70\text{pts}$ ，多加小心。

标算的做法直接考虑把是否为一个联通块转化成式子 $4\sum_S 2^{r(S)}\mod 4$

其中 $S$ 表示一个子集， $r (S)$ 表示这个自己的联通块个数。

考虑组合意义黑白染色，给每一个点染色，使得所选的点中，如果存在相连的情况，那么就染同一种颜色，否则随意。

每个点相当于有三种颜色，黑白或者灰表示不选。

当知道前面的点的颜色状态时就可以清楚自己能染什么颜色了。

时间复杂度 $O(3^{13}n)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=55;
struct edge{
	int y,nex;
}s[N*13];
int first[N],len,now;
long long c[20];
bool d[N][N];
unordered_map<long long,bool> mp[2];
int n,m,fa[N],ans;

void ins(int x,int y){
	s[++len]=(edge){y,first[x]};first[x]=len;
}

int findpa(int x){
	return fa[x]!=x?fa[x]=findpa(fa[x]):x;
}

void trans(long long S,int x){
	for(int i=0;i<m;i++) fa[i+1]=S/c[i]%(m+1);
	if(!fa[m] || (fa[m] && findpa(m)<m)){
		long long T=S;
		int las=-1;
		bool we=false;
		for(int i=1;i<=m;i++) if(fa[i]){
			T=T+c[i-1];
			if(x==n){
				if(las==-1) las=findpa(i);
				else if(!we && las!=findpa(i)) we=true;
			}
		}
		T=T*(m+1)%c[m];
		if(x==n && (!we)) ans^=1;
		else mp[now][T]^=1;
	}
	else if(fa[m]==m && S==m*c[m-1]) ans^=1;
	fa[m+1]=m+1;
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].nex) if(fa[x-s[i].y]) 
		fa[findpa(x-s[i].y)]=m+1;
	if(!fa[m] || (fa[m] && findpa(m)!=m)){
		long long T=0;
		bool we=false;
		for(int i=1;i<m;i++) fa[i]=findpa(i);
		for(int i=1;i<m;i++) if(fa[i]){
			if(fa[i]==m+1) fa[i]=0;
			else we=true;
			T=T+(fa[i]+1)*c[i];
		}
		T++;
		if(x==n && (!we)) ans^=1;
		else mp[now][T]^=1;
	}
}

int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
        if(m==0) {printf("%d",n&1);return 0;}
	int x,y;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d %d",&x,&y);
		d[x][y]=d[y][x]=1;
	}
	m=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=i+1;j<=n;j++) if(d[i][j])
			ins(j,i),m=max(m,j-i);
	c[0]=1;for(int i=1;i<=m;i++) c[i]=c[i-1]*(m+1);
	mp[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		now^=1;mp[now].clear();
		for(auto j:mp[now^1]) if(j.second)
			trans(j.first,i);
	}
	printf("%d\n",ans^1);
}