开门游戏，51nod1372，数竞+简单的莫比乌斯反演

最新推荐文章于 2022-02-11 13:58:53 发布

原创最新推荐文章于 2022-02-11 13:58:53 发布 · 169 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#莫比乌斯反演 #数学竞赛 #微积分 #51nod

本文介绍了一种求解从1到n!的整数与n!的最大公约数之和的方法。该算法利用了数学上的卷积性质，并通过质因数分解和快速幂运算等手段进行优化。

正题

首先要解出 $F (n)$ ，这东西也是问老Win才会的，不过会了也没什么用。
然后剩下的就是个求 $1$ 到 $n!$ 与 $n!$ 的gcd之和。 $\\ \sum_{i=1}^mgcd(i,m) \\ \sum_{d|m} d\sum_{i=1}^{\frac{m}{d}} [gcd(i,\frac{m}{d})=1] \\ \sum_{d|m} d\sum_{g=1}^{\frac{m}{d}}\mu(g) \frac{m}{dg} \\ \sum_{T|m} (id*\mu)(T) \frac{m}{T} \\ (\varphi * id)(m)$
这个 $(φ∗id)(\varphi * id)$ 是两个积性函数的卷积，显然也是个积性函数。而且 $(φ∗id)(pk)(\varphi * id)(p^k)$ 很好求，然后把质因子个数筛出来就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010;
int T,n;
bool vis[N];
int p[N];
const int mod=1000000007;

int ksm(int x,int t){
	int tot=1;
	while(t){
		if(t&1) tot=1ll*tot*x%mod;
		x=1ll*x*x%mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}

int main(){
	scanf("%d",&T);
	n=100005;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]) p[++p[0]]=i;
		for(int j=1;j<=p[0] && 1ll*i*p[j]<=n;j++){
			vis[i*p[j]]=true;
			if(i%p[j]==0) break;
		}
	}
	for(int op=1;op<=T;op++){
		scanf("%d",&n);
		int ans=1;
		for(int i=1;p[i]<=n;i++) {
			int tot=0,tmp=n/p[i];
			while(tmp) tot+=tmp,tmp/=p[i];
			if(p[i]==2) tot--;
			ans=1ll*ans*(1ll*(tot+1)*ksm(p[i],tot)%mod+mod-1ll*tot*ksm(p[i],tot-1)%mod)%mod;
		}
		printf("Case #%d: %d\n",op,ans);
	}
}