专题总结：生成函数

最新推荐文章于 2024-11-12 06:30:00 发布

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本文介绍了生成函数的基础概念，包括普通生成函数(OGF)和指数生成函数(EGF)，并探讨了它们的应用场景及相互转换的方法。此外，还列举了一些重要的OGF封闭形式和泰勒展开式，并给出了通过递推式推导生成函数的具体步骤。

正题

因为前段时间做生成函数题做得比较烦,题解也没写几篇,所以这里做的总结不能很具体,只能总结性概括.

首先就是OGF和EGF,名字分别叫做普通生成函数,指数生成函数.

前者一般用来解决不带标号的集合组合问题,后者一般用来解决带标号的集合组合问题.

前后者也可以通过乘上i!来进行转化.

多项式板子，多项式总结

普通生成函数

对于一个数列a,我们定义它的普通生成函数为 $A(x)=\sum_{i=0}a_ix^i$

两个普通生成函数的乘法等于对应系数的卷积.

通常用来处理不带标号的问题,比如说上楼梯,每次可以上1到3层,那么它的生成函数就是 $\small F(x)=x+x^2+x^3$

如果要求解上n层的方案数,那么答案就等于 $[x^n](F(x)+F^2(x)+...+F^n(x)+...)$

相信差不多懂了大概是来干嘛的.

一些很重要的OGF的封闭形式:

$\\ \frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}x^i \\ \frac{1}{(1-x)^k}=\sum_{i=0}C_{i+k-1}^{k-1}x^i \\ \frac{1}{1-x^k}=\sum_{i=0}x^{ik} \\ (1+x)^m=\sum_{i=0} C_m^i x^i$

还要会根据递推式来推导对应OGF的生成函数:

例如斐波那契数列 $(f_0=0,f_1=1)$ :

$\\f_i=f_{i-1}+f_{i-2}(i>1) \\\sum_{i=2} f_i =\sum_{i=2} f_{i-1}+\sum_{i=2}f_{i-2} \\\sum_{i=2}f_ix^i=\sum_{i=2}f_{i-1}x^{i-1}x+\sum_{i=2}f_{i-2}x^{i-2}x^2 \\F(x)-x=xF(x)+x^2F(x) \\F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$

还有常见的取ln后的多项式:

$\\\ln(1-x^V)=-\sum_{i=1}\frac{x^{Vi}}{i} \\\ln(1+x^V)=\sum_{i=1}\frac{x^{Vi}}{i}$

会了这些那么你就差不多会了OGF剩下的就是做题.

指数生成函数

对一个序列a构造指数生成函数,有 $A(x)=\sum_{i=0}a_i\frac{x^i}{i!}$

指数生成函数的乘法等于对应系数的多项式的组合数卷积.

一些常见的泰勒展开式:

$\\e^x=\sum_{i=0}\frac{x^i}{i!} \\sin(x)=\sum_{i=0}(-1)^i\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!} \\cos(x)=\sum_{i=0}(-1)^i\frac{x^{2i}}{(2i)!} \\\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\sum_{i=0}\frac{x^{2i}}{(2i)!} \\\frac{\sum_{i=0}^{n-1}e^{\omega_n^ix}}{n}=\sum_{i=0}\frac{x^{ni}}{(ni)!}\\e^{ix}=cos(x)+isin(x)$