[国家集训队]整数的lqp拆分,洛谷P4451,封闭形式推导+矩阵快速幂

原创于 2020-10-08 20:54:08 发布 · 165 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

生成函数同时被 2 个专栏收录

9 篇文章

订阅专栏

矩阵快速幂

0 篇文章

订阅专栏

这篇博客详细介绍了如何利用矩阵快速幂的方法解决斐波那契数列的高效率计算问题。通过推导斐波那契数列的封闭形式，博主展示了如何构建并使用矩阵进行乘法运算，最终实现对大指数的斐波那契数的快速求解。代码示例使用C++编写，演示了具体的实现过程。

正题

设斐波那契数列的原函数为 $F(x)=\sum_{i=0}f_ix^i$

答案就是求 $[x^n] \frac{1}{1-F(x)}$

我们先把F(x)的封闭形式推导出来:

$\\f_i=f_{i-1}+f_{i-2}(i>=2) \\\sum_{i=2} f_i=\sum_{i=2} f_{i-1}+\sum_{i=2} f_{i-2} \\\sum_{i=2}f_ix^i=\sum_{i=2}f{i-1}x^{i-1}x+\sum_{i=2}f_{i-2}x^{i-2} x^2 \\F(x)-x=F(x)x+F(x)x^2 \\ F(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$

带进答案中,可以得到 $\frac{x}{1-2x-x^2}$

递推式子显然,然后做以10为基的矩阵快速幂即可.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

char s[10010];
const int mod=1000000007;
void upd(int&x,int y){x=(x+y>=mod)?(x+y-mod):(x+y);}
struct Matrix{
	int a[2][2];
}tot,x;
int n;

Matrix operator*(Matrix A,Matrix B){
	Matrix p;
	memset(p.a,0,sizeof(p.a));
	for(int i=0;i<2;i++)
		for(int k=0;k<2;k++)
			for(int j=0;j<2;j++)
				upd(p.a[i][j],1ll*A.a[i][k]*B.a[k][j]%mod);
	return p;
}

int main(){
	scanf("%s",s+1);n=strlen(s+1);
	x.a[0][0]=2;x.a[0][1]=x.a[1][0]=tot.a[0][0]=tot.a[1][1]=1;
	for(int i=n;i>=1;i--){
		int t=s[i]-'0';
		for(int j=1;j<=t;j++) tot=tot*x;
		x=x*x*x*x*x*x*x*x*x*x;
	}
	printf("%d\n",tot.a[0][1]);
}