最小斯坦纳树-学会了一定是个规划高手

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最小斯坦纳树

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本文深入探讨了最小斯坦纳树问题，这是一个经典的组合优化问题，旨在寻找连接图中特定点集的最小代价树。文章详细介绍了如何使用状态压缩动态规划（状压DP）解决该问题，包括算法的原理、状态转移方程及其实现细节。

正题

最小斯坦纳树问题是由斯坦纳提出来的,并被后人推广的一类问题.

问题原先提出时是这样的:有三个点,希望找到一个点,满足这个点到这三个点的路径长度和最小,感兴趣的可以找找来看解法和证明,已被推广到k个点了.

OI中的最小斯坦纳树问题是给出一张无向联通图,有k个关键点,每条边有边权,现在要求出一种边集的方案满足将k个点联通.

具体可以参考洛谷的模板题

可以使用状压Dp来解决这个问题,令 $f[i][S]$ 表示i这个点,联通S集合的关键点的最小代价.

转移可以分两种情况:

自己转移给自己: $f[i][S]=min_{T\in S}(f[i][T]+f[S\^\ T])$ ,后面那项指的是T在S中的补集,这种转移是显然的.

由他人转移给自己 $f[i][S]=min(f[j][S]+dis(i,j)))$ ,dis(i,j)表示的是两点的距离,这种转移也是显而易见的,但是注意这里的j不一定要与i直接相连,可以隔很远.

第一种状态的转移当然要满足子集的答案已经算好了,所以我们从小到大枚举集合S,第二种转移可以通过路径转移,我们就可以考虑用最短路来更新,具体可以看看代码.

先用第一种来更新,因为第二种的当前状态更新对于第一种的当前状态没有影响,然后在考虑用最短路来更新第二种的当前状态就可以了.

pair是按照第一关键字从小到大排序的,但是优先队列中维护的是大根堆,所以我们将第一关键字存为距离的相反数就可以实现维护小根堆.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=110,M=510,S=1<<10;
int n,m,k;
struct edge{
	int y,nex,c;
}s[M<<1];
int first[N],len=0;
int f[N][S];
bool vis[N];
priority_queue<pair<int,int> > q;

void ins(int x,int y,int c){s[++len]=(edge){y,first[x],c};first[x]=len;}

void dijkstra(int now){
	memset(vis,false,sizeof(vis));
	while(!q.empty()){
		pair<int,int> x=q.top();q.pop();
		if(vis[x.second]) continue;vis[x.second]=true;
		for(int i=first[x.second];i;i=s[i].nex) {
			if(f[x.second][now]+s[i].c<f[s[i].y][now]){
				f[s[i].y][now]=f[x.second][now]+s[i].c;
				q.push(make_pair(-f[s[i].y][now],s[i].y));
			}
		}
	}
}

int main(){
	scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
	int x,y,c;
	memset(f,63,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d %d %d",&x,&y,&c),ins(x,y,c),ins(y,x,c);
	for(int i=0;i<k;i++) scanf("%d",&x),f[x][1<<i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=0;
	for(int now=1;now<(1<<k);now++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int sub=now&(now-1);sub;sub=(sub-1)&now)
				f[i][now]=min(f[i][now],f[i][sub]+f[i][now^sub]);
			if(f[i][now]!=1061109567) q.push(make_pair(-f[i][now],i));
		}
		dijkstra(now);
	}
	int ans=1e9;
	for(int i=1;i<=n;i++) ans=min(ans,f[i][(1<<k)-1]);
	printf("%d\n",ans);
}