[状压DP] 最小斯坦纳树

最新推荐文章于 2024-08-09 04:43:50 发布

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本文详细解析了 Steiner Tree 问题的状态压缩动态规划解决方案，通过 f(i,S) 表示以 i 为根，集合 S 的最小方案数，介绍了两种状态转移方式，包括枚举点更新和枚举子集，最后提供了完整的 C++ 实现代码。

传送门

斯坦纳树，steiner tree
其实就是一个状压DP

$f (i, S)$ 表示以 $i$ 为根，集合 $S$ 的最小方案数
考虑转移：
$\begin{aligned} &deg[i]=1&&f(j,S)+w(i,j)\to f(i,S)\\ &deg[i]>1&&\forall T\subseteq S, f(i,T)+f(i,S-T+i)\to f(i,S) \end{aligned}$
考虑第一种，就是枚点更新(特别像迪杰，其实就用迪杰)
考虑第二种，枚举子集

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define in READ()
int in{
	int i=0,f=1;char ch=0;
	while(!isdigit(ch)&&ch!='-') ch=getchar();
	if(ch=='-') ch=getchar(),f=-1;
	while(isdigit(ch)) i=(i<<1)+(i<<3)+ch-48,ch=getchar();
	return i*f;
}

const int N=1e3+5;
const int INF=1e9;
int n,m,k,f[N][N<<3],p[N];
int tot,first[N],nxt[N],aim[N],wei[N];
priority_queue<pair<int,int> >q;
bool vis[N];

void ljb(int u,int v,int w){
	++tot;
	nxt[tot]=first[u];
	first[u]=tot;
	aim[tot]=v;
	wei[tot]=w;
	return;
}

void dijkstra(int s){
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	while(!q.empty()){
		int u=q.top().second;q.pop();
		if(vis[u]) continue;
		vis[u]=true;
		for(int e=first[u];e;e=nxt[e]){
			int v=aim[e];
			if(f[v][s]>f[u][s]+wei[e]){
				f[v][s]=f[u][s]+wei[e];
				q.push(make_pair(-f[v][s],v));
			}
		}
	}
	return;
}

int main(){
	n=in,m=in,k=in;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int s=1;s<(1<<k);++s)
			f[i][s]=INF;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int u=in,v=in,w=in;
		ljb(u,v,w);
		ljb(v,u,w);
	}
	for(int i=1;i<=k;++i){
		p[i]=in;
		f[p[i]][1<<(i-1)]=0;
	}
	for(int s=1;s<(1<<k);++s){
		for(int i=1;i<=n;++i){
			for(int sub=s&(s-1);sub;sub=s&(sub-1)){
				f[i][s]=min(f[i][s],f[i][sub]+f[i][s^sub]);
			}
			if(f[i][s]!=INF) q.push(make_pair(-f[i][s],i));
		}
		dijkstra(s);
	}
	printf("%d\n",f[p[1]][(1<<k)-1]);
	return 0;
}