<think>首先，用户要求用中文回答问题，所以我必须使用中文。用户的问题是关于“[SHOI2012] 魔法树”的树链剖分详解。
我需要回忆“[SHOI2012] 魔法树”这个题目。这是一个经典的树链剖分问题，涉及路径修改和子树查询。
题目大意：给定一棵树，每个节点有初始值。支持两种操作：
1. 路径加：给从u到v的路径上所有节点加上一个值。
2. 子树查询：查询以u为根的子树中所有节点的值的和。
树链剖分（Heavy-Light Decomposition, HLD）是解决这类问题的有效方法。它将树分解成链，便于用线段树或其他数据结构维护。
树链剖分的关键步骤：
- 第一次DFS：计算每个节点的子树大小（size），父节点（parent），深度（depth），重儿子（heavy son）。
- 第二次DFS：分配链顶（top）和DFS序（dfn）。重儿子优先遍历，形成重链。
在树链剖分中，每个节点得到一个DFS序，重链上的节点连续。这样，路径可以被分解成O(log n)条链，每条链在DFS序上是连续的区间。
对于路径加操作：
- 从u和v开始，向上跳链，直到它们在同一个链上。每次跳链时，修改当前链上的区间（从当前节点到链顶）。
- 具体地，如果u和v的链顶不同，选择链顶深度较大的节点，修改从该节点到链顶的区间，然后跳到链顶的父节点。
- 当u和v在同一条链上时，修改它们之间的区间。
对于子树查询：
- 由于子树在DFS序中是连续的区间（从dfn[u]到dfn[u] + size[u] - 1），所以可以直接查询这个区间。
实现时，通常用一个线段树来维护DFS序上的区间和、区间加。
现在，我需要详细解释树链剖分在本题中的应用。
回答结构：
1. 介绍树链剖分的基本概念。
2. 描述如何应用于“[SHOI2012] 魔法树”。
3. 给出代码框架（伪代码或简化代码）。
4. 最后，提出3-5个相关问题。
用户指定了格式：回答后必须输出“§§相关问题§§”，然后列出问题。第一行必须是“§§相关问题§§”，禁止换行分散。
在示例中，代码是用markdown代码块表示的，所以我应该用类似方式。
完整回答：
- 先详细解释树链剖分。
- 然后针对题目给出具体实现。
- 最后输出相关问题。
相关问题应该基于用户的问题和我的回答。可能的主题：
1. 树链剖分的其他应用。
2. 优化或变体。
3. 复杂度分析。
4. 相关题目。
列出3-5个：
1. 树链剖分的时间复杂度是多少？
2. 如何处理子树修改和路径查询？
3. 树链剖分与倍增LCA的区别是什么？
4. 是否有其他树分解方法？
5. 在本题中，如果支持路径查询和子树加，如何修改？
确保问题相关。
现在，写回答。</think>### 树链剖分详解 [SHOI2012] 魔法树
[SHOI2012] 魔法树是一个经典的树链剖分（Heavy-Light Decomposition, HLD）问题。给定一棵 \(n\) 个节点的树，每个节点初始值为 0，支持两种操作：
1. **路径加**：给节点 \(u\) 到 \(v\) 的路径上所有节点增加一个值 \(d\)。
2. **子树查询**：查询以节点 \(u\) 为根的子树中所有节点值的和。
树链剖分通过将树分解为若干条链（重链），并映射到线性序列（DFS 序），从而用线段树高效处理路径和子树操作。以下是详细步骤：
#### 1. **树链剖分预处理**
- **第一次 DFS**：计算每个节点的父节点（`fa`）、深度（`dep`）、子树大小（`siz`）和重儿子（`son`）。
- 重儿子：子树大小最大的儿子节点。
- **第二次 DFS**：分配 DFS 序（`dfn`）和链顶（`top`）。
- 优先遍历重儿子，形成重链；轻儿子作为新链的起点。
- 记录 DFS 序范围：节点 \(u\) 的子树对应区间 \([dfn[u], dfn[u] + siz[u] - 1]\)。
#### 2. **操作实现**
- **路径加操作 `AddPath(u, v, d)`**：
- 当 \(u\) 和 \(v\) 不在同一条链上时，将深度较大的节点向上跳至链顶，并修改该链的区间（对应线段树区间加）。
- 当 \(u\) 和 \(v\) 在同一条链上时，直接修改它们之间的区间。
- 时间复杂度：\(O(\log^2 n)\)（每条链跳 \(O(\log n)\) 次，线段树操作 \(O(\log n)\)）。
- **子树查询操作 `QuerySubtree(u)`**：
- 子树在 DFS 序中是连续区间 \([dfn[u], dfn[u] + siz[u] - 1]\)。
- 直接线段树区间查询。
- 时间复杂度：\(O(\log n)\)。
#### 3. **线段树维护**
- 基于 DFS 序建线段树，支持区间加和区间查询。
- 每个节点存储区间和（`sum`）和懒标记（`lazy`）。
#### 代码框架（Python 伪代码）
```python
class HLD:
def __init__(self, n, graph):
self.n = n
self.graph = graph
self.fa = [-1] * (n+1) # 父节点
self.dep = [0] * (n+1) # 深度
self.siz = [0] * (n+1) # 子树大小
self.son = [-1] * (n+1) # 重儿子
self.top = [-1] * (n+1) # 链顶
self.dfn = [0] * (n+1) # DFS序
self.cnt = 0 # DFS计数器
self.dfs1(1, 0) # 第一次DFS
self.dfs2(1, 1) # 第二次DFS
self.seg_tree = SegmentTree(n) # 线段树（区间加、区间和）
def dfs1(self, u, father): # 计算siz, dep, fa, son
self.fa[u] = father
self.dep[u] = self.dep[father] + 1
self.siz[u] = 1
max_size = -1
for v in self.graph[u]:
if v == father: continue
self.dfs1(v, u)
self.siz[u] += self.siz[v]
if self.siz[v] > max_size:
max_size = self.siz[v]
self.son[u] = v
def dfs2(self, u, top_fa): # 分配dfn和top
self.top[u] = top_fa
self.dfn[u] = self.cnt
self.cnt += 1
if self.son[u] == -1: return
self.dfs2(self.son[u], top_fa) # 优先重儿子
for v in self.graph[u]:
if v == self.fa[u] or v == self.son[u]: continue
self.dfs2(v, v) # 轻儿子作为新链顶
def AddPath(self, u, v, d): # 路径加
while self.top[u] != self.top[v]:
if self.dep[self.top[u]] < self.dep[self.top[v]]:
u, v = v, u
# 修改u到其链顶的区间
l, r = self.dfn[self.top[u]], self.dfn[u]
self.seg_tree.update(l, r, d)
u = self.fa[self.top[u]]
if self.dep[u] > self.dep[v]:
u, v = v, u
l, r = self.dfn[u], self.dfn[v]
self.seg_tree.update(l, r, d) # 修改最后一条链上的区间
def QuerySubtree(self, u): # 子树查询
l, r = self.dfn[u], self.dfn[u] + self.siz[u] - 1
return self.seg_tree.query(l, r)
class SegmentTree: # 线段树（简化版）
def __init__(self, n):
self.n = n
self.sum = [0] * (4 * n)
self.lazy = [0] * (4 * n)
def push_down(self, o, l, r):
if self.lazy[o]:
mid = (l + r) // 2
self.lazy[o*2] += self.lazy[o]
self.lazy[o*2+1] += self.lazy[o]
self.sum[o*2] += self.lazy[o] * (mid - l + 1)
self.sum[o*2+1] += self.lazy[o] * (r - mid)
self.lazy[o] = 0
def update(self, o, l, r, ql, qr, d): # 区间加
if ql <= l and r <= qr:
self.sum[o] += d * (r - l + 1)
self.lazy[o] += d
return
self.push_down(o, l, r)
mid = (l + r) // 2
if ql <= mid: self.update(o*2, l, mid, ql, qr, d)
if qr > mid: self.update(o*2+1, mid+1, r, ql, qr, d)
self.sum[o] = self.sum[o*2] + self.sum[o*2+1]
def query(self, o, l, r, ql, qr): # 区间查询
if ql <= l and r <= qr:
return self.sum[o]
self.push_down(o, l, r)
mid = (l + r) // 2
res = 0
if ql <= mid: res += self.query(o*2, l, mid, ql, qr)
if qr > mid: res += self.query(o*2+1, mid+1, r, ql, qr)
return res
# 主程序示例
if __name__ == "__main__":
n = int(input()) # 节点数
graph = [[] for _ in range(n+1)]
for _ in range(n-1): # 建树
u, v = map(int, input().split())
graph[u].append(v)
graph[v].append(u)
hld = HLD(n, graph)
# 处理操作：例如 hld.AddPath(u, v, d) 或 hld.QuerySubtree(u)
```
#### 复杂度分析
- 预处理：两次 DFS，\(O(n)\)。
- 路径加：\(O(\log^2 n)\)（树链剖分分解为 \(O(\log n)\) 条链，每条链线段树操作 \(O(\log n)\)）。
- 子树查询：\(O(\log n)\)（线段树区间查询）。
本文介绍了一种使用Splay树解决动态更新问题的方法，通过维护节点的权值和子树信息，实现快速查询和更新。文章详细解释了Splay树的旋转和维护过程，以及如何通过轻儿子和非节点权值优化算法效率。
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