Donation，ARC098F，神仙*(转化+建树)

最优捐赠路径算法解析

最新推荐文章于 2022-11-04 20:33:00 发布

原创最新推荐文章于 2022-11-04 20:33:00 发布 · 365 阅读

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本文深入探讨了一种解决特定图论问题的算法——最优捐赠路径。通过分析节点间关系，利用深度优先搜索(DFS)与动态规划(DP)，确定了在满足特定条件下的最小捐赠成本。文章详细解释了如何选取最大权重的联通块，并通过枚举和比较策略，确保了算法的高效性和准确性。

正题

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首先因为我们要满足每个点都被捐赠过，那么我们可以把经过i点， $k>=a_i$ 的条件转化为每次进来和出去，都要满足 $k>=max(a_i-b_i,0)$ ，因为一个点肯定会在最后一次经过的时候捐赠，也就是说在最后离开的时候要满足这个条件，那么前面的情况必定满足 $k>=max(a_i-b_i,0)+b_i\to k>=a_i$ ，那么就设 $c_i=max(a_i-b_i,0)$ 。

一个结论就是当有两种选择的时候，捐赠肯定要选当前 $c_i$ 最大的，如果先选 $c_i$ 较小的，可能会使得答案更劣。

我们要同时这两个结论，那么就出现了下面的这种解法：

选出当前联通块c最大的，假设删去这个点及其连边之后会把原图分成k个联通块，假如k>1，那么说明不得不经过i点多次，最后离开i点的时候要满足 $k>=c_i$ ，我们当然选择最后一次离开的时候捐赠这个点，因为ci是联通块中最大的，所以我们可以先带着ci的权值以及其中k-1个子联通块的B值之后去贡献k-1个子联通块，然后贡献当前点并离开，进入最后一个子联通块里面，永远也不回来，这个当前点在该联通块的代价就是 $dp_i=sum_i-\sum_{j=1}^{k-1}sum_{son_j}+max(c[x]+dp[son_k])$ ，因为最后一次离开要>=c[x]，而son_k联通块需要 $dp[son_k]$ 的值，当然就是取max，然后枚举这个son_k是什么，取个最小值就可以了。

发现联通块之间的关系肯定是c从大到小的关系，建树可以看看代码，神仙。

感觉先选ci最大的有点说不清楚，但是结合dp式子来看就很显然了。

具体怎么显然分类讨论就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=100010;
int n,m;
struct edge{
	int y,next;
}s[N<<1];
vector<int> out[N];
int first[N],len=0,a[N],b[N],id[N],rk[N],fa[N];
long long sum[N],dp[N];

bool cmp(int x,int y){return a[x]<a[y];}
int findpa(int x){return fa[x]!=x?fa[x]=findpa(fa[x]):x;}
void ins(int x,int y){s[++len]=(edge){y,first[x]};first[x]=len;}

void dfs(int x,int fa){
	sum[x]=b[x];
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next) if(s[i].y!=fa) dfs(s[i].y,x),sum[x]+=sum[s[i].y];
}

void get_ans(int x,int fa){
	if(first[x]==0) dp[x]=a[x]+b[x];
	else dp[x]=1e18;
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next) if(s[i].y!=fa){
		get_ans(s[i].y,x);
		dp[x]=min(dp[x],sum[x]-sum[s[i].y]+max(dp[s[i].y],1ll*a[x]));
	}
}

int main(){
	scanf("%d %d",&n,&m);
	int x,y;
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&a[i],&b[i]),a[i]=max(a[i]-b[i],0),id[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%d %d",&x,&y),out[x].push_back(y),out[y].push_back(x);
	sort(id+1,id+1+n,cmp);
	for(int i=1;i<=n;i++) rk[id[i]]=i,fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		x=id[i];
		for(int j=0;j<out[x].size();j++){
			y=findpa(out[x][j]);
			if(rk[y]<rk[x]) ins(x,y),fa[y]=x;
		}
	}
	dfs(id[n],0);
	get_ans(id[n],0);
	printf("%lld\n",dp[id[n]]);
}