Sum Balance，CF1242C，找环+状态压缩Dp

最新推荐文章于 2025-09-03 12:35:39 发布

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本文深入探讨了如何通过构建基环内向树森林和使用强连通分量分析来解决特定问题，同时介绍了状态压缩DP算法的应用，确保每个集合中只有一个点在环上，实现有效的问题求解。

正题

首先只能交换一次，我们给一个点向丢弃这个点能换来的点连有向边，那么问题就变成了，找到一些环，使得每个集合中只有且仅有一个点在环上，首先可以证明这是一棵基环内向树森林，因为每一个点的出度，在题解中也说到了这是一个"function graph"，不可能有两个环有公共点，所以我们直接找强连通分量，注意这里的不能把单点但没有自环的强连通分量算进去，因为不能构成一种方案，如果强连通分量中本身就有两个公共集合的顶点，那么也不可能成为答案，那么现在一个强连通分量就代表选一些集合的答案，将它们状态压缩Dp就可以了，时间复杂度不超过 $O(3^{k-1}*k+\sum n_i)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=75010;
struct edge{
	int y,next;
}s[N];
struct loop{
	vector<int> V;
	int S;
}P[N];
struct node{
	int x,y,d;
	bool operator<(const node q)const{
		return x<q.x;
	}
};
vector<node> A;
vector<int> F[32768];
int first[N],len=0,d[N],op[N],low[N],dfn[N],T=0;
int sta[N],top=0,totl;
int n,num,D;
map<long long,int> mp;
map<long long,int>::iterator it;
long long sum[20],tot=0;

void ins(int x,int y){s[++len]=(edge){y,first[x]};first[x]=len;}

void Tarjan(int x){
	dfn[x]=++T;low[x]=T;
	sta[++top]=x;
	for(int i=first[x];i!=0;i=s[i].next){
		if(!dfn[s[i].y]){
			Tarjan(s[i].y);
			low[x]=min(low[x],low[s[i].y]);
		}
		else low[x]=min(low[x],dfn[s[i].y]);
	}
	if(low[x]==dfn[x]){
		bool tf=true;totl++;
		while(1){
			int now=sta[top];top--;
			P[totl].V.push_back(now);
			if(P[totl].S&(1<<(d[now]-1))) tf=false;
			P[totl].S|=(1<<(d[now]-1));
			if(now==x) break;
		}
		if(first[x]==0 || P[totl].V.size()==1 && s[first[x]].y!=x || !tf) return ;
		if(!F[P[totl].S].size()) F[P[totl].S].push_back(totl);
	}
}

int main(){
	scanf("%d",&n);D=(1<<n)-1;
	int size=0,x,y;mp.clear();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&size);
		while(size--){
			num++;scanf("%d",&op[num]);
			mp[1ll*op[num]]=num;d[num]=i;sum[i]+=op[num];
		}
		tot+=sum[i];
	}
	if(tot%n!=0) {printf("No\n");return 0;}tot/=n;
	for(int i=1;i<=num;i++) if(mp[tot-sum[d[i]]+op[i]]) ins(i,mp[tot-sum[d[i]]+op[i]]);
	for(int i=1;i<=num;i++) if(!dfn[i]) Tarjan(i);
	for(int i=1;i<=D;i++) 
		for(int j=i&(i-1);j;j=(j-1)&i){
			if(F[j].size() && F[i^j].size()){
				F[i]=F[i^j];
				for(int k=0;k<F[j].size();k++) F[i].push_back(F[j][k]);
				break;
			}
		}
	if(!F[D].size()) printf("No\n");
	else{
		printf("Yes\n");
		for(int i=0;i<F[D].size();i++){
			x=F[D][i];
			for(int j=0;j<P[x].V.size()-1;j++) A.push_back((node){d[P[x].V[j]],op[P[x].V[j]],d[P[x].V[j+1]]});
			A.push_back((node){d[P[x].V[P[x].V.size()-1]],op[P[x].V[P[x].V.size()-1]],d[P[x].V[0]]});
		}
		sort(A.begin(),A.end());
		for(int i=0;i<A.size();i++) printf("%d %d\n",A[i].y,A[i].d);
	}
}