Balanced Domino Placements，CFGLR5F，Dp

最新推荐文章于 2021-10-21 10:10:03 发布

原创最新推荐文章于 2021-10-21 10:10:03 发布 · 216 阅读

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本文介绍了一种基于动态规划和组合数学的算法，用于解决在特定条件下的行列匹配计数问题。通过枚举选择一定数量的行和列，计算可能的匹配方案数，考虑到行和列不能重复使用，算法利用DP技术进行高效计算。

正题

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有些行是放不了的，直接标成1，有些列是放不了的，直接标记成1.

考虑枚举选出i个竖着的和j个横着的，A为从所有0行中选出i个连在一起的，j个单个的的方案数，B为从所有0列中选出j个连在一起的，i个单个的的方案数，这里的行列不能重复，那么答案就是 $ABi!j!$ ，AB很好理解，后面那两个阶乘考虑他们直接如何匹配就可以了。

AB是什么呢？其实可以Dp，f[i][j]表示前i行分出j个连在一起的的方案数。转移不多说

$A=f[h][j]*\begin{pmatrix} a-2*j\\i \end{pmatrix}$ ，a指的是0行的个数。B同理。

然后暴力枚举ij算答案就可以了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N=3601;
int h,w,n;
int row[N],ver[N];
int f[N][N],g[N][N];
long long ans=0;
long long fac[N],inv[N];
const int mod=998244353;
 
long long ksm(long long x,long long t){
	long long tot=1;
	while(t){
		if(t&1) (tot*=x)%=mod;
		(x*=x)%=mod;
		t/=2;
	}
	return tot;
}
 
long long C(int x,int y){
	return fac[x]*inv[x-y]%mod*inv[y]%mod;
}
 
int main(){
	scanf("%d %d %d",&h,&w,&n);
	fac[0]=1;for(int i=1;i<=max(h,w);i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
	inv[max(h,w)]=ksm(fac[max(h,w)],mod-2);for(int i=max(h,w)-1;i>=0;i--) inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%mod;
	int a,b,c,d;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d %d %d %d",&a,&b,&c,&d);
		row[a]++;ver[b]++;
		if(a==c) ver[d]++;
		else row[c]++;
	}
	a=0,b=0;
	for(int i=1;i<=h;i++) if(row[i]>1){printf("0");return 0;}else if(row[i]==0) a++;
	for(int i=1;i<=w;i++) if(ver[i]>1){printf("0");return 0;}else if(ver[i]==0) b++;
	f[0][0]=1;g[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=h;i++)
		for(int j=0;j<=min(i,a)/2;j++){
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if(!row[i] && !row[i-1] && j) f[i][j]+=f[i-2][j-1],f[i][j]>=mod?f[i][j]-=mod:0;
		}
	for(int i=1;i<=w;i++)
		for(int j=0;j<=min(i,b)/2;j++){
			g[i][j]=g[i-1][j];
			if(!ver[i] && !ver[i-1] && j) g[i][j]+=g[i-2][j-1],g[i][j]>=mod?g[i][j]-=mod:0;
		}
	for(int i=0;i<=a/2;i++)
		for(int j=0;j<=min(a-i*2,(b-i)/2);j++)
			ans+=1ll*f[h][i]*C(a-i*2,j)%mod*g[w][j]%mod*C(b-j*2,i)%mod*fac[i]%mod*fac[j]%mod;
	printf("%I64d\n",ans%mod);
}